Assinale a alternativa que apresenta a solução do PVI: $ rac{dy}{dx} = rac{x}{y}$, (3) = 4.

Alternativa A

A questão solicita a resolução de um Problema de Valor Inicial (PVI), que consiste em encontrar uma solução específica para uma equação diferencial que satisfaça uma condição dada no início (condição inicial).

Passo 1: Resolver a Equação Diferencial Geral

A equação fornecida é:
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}

Esta é uma equação diferencial de variáveis separáveis. O objetivo é agrupar todos os termos contendo y em um lado e todos os termos contendo x no outro:

1. Multiplique ambos os lados por y e por dx:
   y \cdot dy = -x \cdot dx
2. Integre ambos os lados:
   \int y \, dy = \int -x \, dx
3. Calcule as integrais:
   \frac{y^2}{2} = -\frac{x^2}{2} + C_1
   (onde C_1 é a constante de integração)
4. Para simplificar, multiplique toda a equação por 2:
   y^2 = -x^2 + 2C_1
5. Reorganize os termos (x^2 passa para o lado esquerdo):
   x^2 + y^2 = 2C_1

Chamamos a constante $2C_1$ simplesmente de K. Assim, a solução geral representa uma família de circunferências centradas na origem:
x^2 + y^2 = K

Passo 2: Aplicar a Condição Inicial (PVI)

A condição inicial fornecida é y(3) = 4. Isso significa que quando x = 3, então y = 4. Substituímos esses valores na equação geral encontrada acima para determinar o valor exato da constante K.

• Substitua x = 3 e y = 4 em x^2 + y^2 = K:
  (3)^2 + (4)^2 = K
• Calcule os quadrados:
  9 + 16 = K
• Some os valores:
  K = 25

Conclusão

Substituindo o valor de K de volta na equação geral, obtemos a solução particular do PVI:
x^2 + y^2 = 25

Portanto, a alternativa correta é a A.