Como as alternativas (A, B, C, D, E) não foram apresentadas na imagem fornecida, não é possível indicar uma letra específica. No entanto, realizei o cálculo completo para determinar o valor exato da integral. A alternativa correta será aquela que apresentar o resultado $\frac{16\pi}{5}$.
Alternativa [Opção correspondente a 16π/5]
Análise da Questão
O problema solicita o cálculo de uma integral tripla iterada. O enunciado fornece uma dica crucial: utilizar coordenadas cilíndricas. Isso sugere que a região de integração possui simetria circular em torno do eixo z, o que simplifica drasticamente os limites e o elemento de volume.
1. Identificação da Região de Integração
Analisando os limites dados na integral cartesiana original:
- Variáveis externas (x e y):
- x varia de -2 a $2$.
- y varia de -\sqrt{4-x^2} a \sqrt{4-x^2}.
- Isso descreve um disco no plano xy centrado na origem com raio R=2 (x^2 + y^2 \leq 4).
- Variável interna (z):
- z varia de \sqrt{x^2+y^2} até $2$.
- A superfície inferior é um cone (z = r).
- A superfície superior é um plano horizontal (z = 2).
2. Conversão para Coordenadas Cilíndricas
Para resolver, aplicamos a transformação:
x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \quad z = z
x^2 + y^2 = r^2
dV = r \, dz \, dr \, d\theta
Os novos limites são:
- \theta: $0$ a $2\pi$ (círculo completo).
- r: $0$ a $2$ (raio do disco).
- z: r a $2$ (do cone até o plano).
O integrando (x^2 + y^2) torna-se r^2. Multiplicando pelo Jacobiano (r), a expressão integrada passa a ser r^3.
## Desenvolvimento do Cálculo
A integral reescrita fica:
I = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{r}^{2} r^3 \, dz \, dr \, d\theta
Passo 1: Integração em relação a $z$
\int_{r}^{2} r^3 \, dz = r^3 [z]_{r}^{2} = r^3 (2 - r) = 2r^3 - r^4
Passo 2: Integração em relação a $r$
\int_{0}^{2} (2r^3 - r^4) \, dr = \left[ \frac{2r^4}{4} - \frac{r^5}{5} \right]_{0}^{2}
= \left[ \frac{1}{2}r^4 - \frac{1}{5}r^5 \right]_{0}^{2}
Substituindo r=2:
= \left( \frac{1}{2}(16) - \frac{1}{5}(32) \right) = 8 - \frac{32}{5}
= \frac{40}{5} - \frac{32}{5} = \frac{8}{5}
Passo 3: Integração em relação a $\theta$
\int_{0}^{2\pi} \frac{8}{5} \, d\theta = \frac{8}{5} [\theta]_{0}^{2\pi} = \frac{8}{5} (2\pi) = \frac{16\pi}{5}
Conclusão
O valor correto da integral é $\frac{16\pi}{5}$. Ao verificar as opções da questão original, selecione a alternativa que contém este valor.