Assinale a alternativa que contenha o volume abaixo do cone z = √(x² + y²) e acima do disco D dado por x² + y² ≤ 16:

Alternativa Incerta (Necessário Cálculo)

Como as opções (alternativas A, B, C, D, E) não estão visíveis na imagem fornecida, apresento o cálculo detalhado para encontrar o valor exato que deve ser selecionado na lista original. O resultado esperado é $\frac{128\pi}{3}$.

Resolução Passo a Passo

Para encontrar o volume da região descrita, utilizamos uma integral dupla em coordenadas polares.

1. Identificação dos Limites de Integração

A região de integração D no plano xy é o disco dado por x^2 + y^2 \leq 16.
Isso define um círculo com raio R = 4 (R^2 = 16).
Em coordenadas polares:

• Raio (r): de $0$ a $4$
• Ângulo (\theta): de $0$ a $2\pi$ (giro completo)

2. Definição da Função Altura

O volume está limitado acima pelo disco (z = 0) e abaixo pela superfície do cone z = \sqrt{x^2 + y^2}.
Em coordenadas polares, substituindo x = r\cos\theta e y = r\sin\theta:
z = \sqrt{r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)} = \sqrt{r^2} = r
Portanto, a altura da função a ser integrada é f(r, \theta) = r.

3. Montagem da Integral

O elemento de área em coordenadas polares é dA = r \, dr \, d\theta.
A integral do volume V é:
V = \iint_D z \, dA = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{4} (r) \cdot r \, dr \, d\theta
V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{4} r^2 \, dr \, d\theta

4. Cálculo da Integral

Primeiro integramos em relação a r:
\int_{0}^{4} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{4} = \frac{4^3}{3} - 0 = \frac{64}{3}

Depois integramos em relação a \theta:
V = \int_{0}^{2\pi} \frac{64}{3} \, d\theta = \frac{64}{3} \cdot [\theta]_{0}^{2\pi}
V = \frac{64}{3} \cdot 2\pi = \frac{128\pi}{3}

Análise Comparativa

É comum haver confusão entre este resultado e o volume geométrico padrão de um cone.

• Volume Geométrico do Cone Interno: Se a questão pedisse o volume dentro do cone (entre o eixo z e a superfície), seria \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi(4^2)(4) = \frac{64\pi}{3}.
• Volume Solicitado ("Abaixo do Cone"): Como estamos integrando a área sob a curva z=r até o chão (z=0), estamos calculando o volume do cilindro menos o cone interno.
• Volume do Cilindro (R=4, H=4): $64\pi$
• Volume do Cone Interno: \frac{64\pi}{3}
• Nosso Resultado: $64\pi - \frac{64\pi}{3} = \frac{128\pi}{3}$.

Conclusão

O valor correto para assinalar na alternativa é $\frac{128\pi}{3}$.