Assinale a alternativa que corresponde ao valor da integral dupla ∫∫(x+y)dA, onde D é a região do tipo I limitada pelas parábolas y = 2x² e y = 1 + x².

Alternativa A - \frac{16}{15}

Para resolver esta questão de integral dupla, precisamos seguir um método passo a passo envolvendo a definição dos limites de integração e o cálculo da integral iterada.

Passo 1: Definir a Região de Integração (D)

A questão define a região D como uma região do Tipo I, limitada por duas funções de x:

1. Função inferior: y = 2x^2
2. Função superior: y = 1 + x^2

Primeiro, encontramos os pontos de interseção dessas parábolas para determinar os limites de x (de a até b):

Portanto, os limites para x são [-1, 1].

Passo 2: Montar a Integral Iterada

A integral dupla \iint_D (x+y) \, dA pode ser escrita como uma integral iterada na ordem dy \, dx:

Passo 3: Calcular a Integral Interna (em relação a y)

Integramos (x+y) tratando x como constante:

Avaliamos nos limites de y ($2x^2$ inferior e $1+x^2$ superior):

Substituindo:

• Superior: x(1+x^2) + \frac{(1+x^2)^2}{2}
• Inferior: x(2x^2) + \frac{(2x^2)^2}{2}

Realizando as operações algébricas e simplificando:
\left( x + x^3 + \frac{1 + 2x^2 + x^4}{2} \right) - \left( 2x^3 + \frac{4x^4}{2} \right)
= x + x^3 + \frac{1}{2} + x^2 + \frac{x^4}{2} - 2x^3 - 2x^4
= -\frac{3}{2}x^4 - x^3 + x^2 + x + \frac{1}{2}

Passo 4: Calcular a Integral Externa (em relação a x)

Agora integramos o resultado anterior de -1 a $1$:

Podemos observar que os termos ímpares (-x^3 e +x) anulam-se ao integrar de -1 a $1$ devido à simetria. Sobram apenas os termos pares:

Calculando a primitiva:
= 2 \left[ -\frac{3}{2} \cdot \frac{x^5}{5} + \frac{x^3}{3} + \frac{x}{2} \right]_0^1
= 2 \left( -\frac{3}{10} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right)

Trazendo para o denominador comum (30):
= 2 \left( \frac{-9 + 10 + 15}{30} \right)
= 2 \left( \frac{16}{30} \right) = \frac{32}{30} = \frac{16}{15}

Conclusão

O valor da integral dupla calculada é $\frac{16}{15}$, o que corresponde à alternativa A.