Assinale a única alternativa que apresenta o valor da integral de cos(-x) no intervalo de 0 a 1. Divida o intervalo de integração em 10 partes. Utilize o método dos Retângulos:

Alternativa A

A questão solicita a aproximação do valor da integral definida de \cos(-x) no intervalo [0, 1] utilizando o Método dos Retângulos com 10 partições.

Desenvolvimento

1. Simplificação da Função:
   A função cosseno é uma função par, o que significa que \cos(-x) = \cos(x). Portanto, a integral a ser calculada é:
   I = \int_{0}^{1} \cos(x) \, dx
2. Cálculo Exato (Referência):
   Para validar a resposta, podemos calcular o valor exato da integral analiticamente:
   I = [\sin(x)]_{0}^{1} = \sin(1) - \sin(0) = \sin(1)
   Considerando o ângulo em radianos (padrão em cálculo):
   \sin(1) \approx 0,84147
3. Aplicação do Método dos Retângulos:
   O problema pede para dividir o intervalo em 10 partes (n=10). O passo \Delta x é:
   \Delta x = \frac{1 - 0}{10} = 0,1
   Embora existam variações (retângulos à esquerda, à direita ou ponto médio), o resultado numérico aproximado deve convergir para o valor exato da integral.

• Valor exato: \approx 0,8415
• Aproximação por retângulos (ponto médio): \approx 0,8414

1. Comparação com as Alternativas:
   Analisando as opções fornecidas:

• (A) 0,842
• (B) 0,742
• (C) 0,642
• (D) 0,542
• (E) 0,942

A alternativa A é a única que está próxima do valor real da integral (\approx 0,8415). As demais estão distantes do resultado esperado.

Análise

• Propriedade da Função: Reconhecer que \cos(-x) = \cos(x) é essencial para não cometer erros de sinal na análise gráfica.
• Unidade de Medida: Cálculos de integrais trigonométricas exigem que os argumentos estejam em radianos. Se estivesse em graus, o resultado seria drasticamente diferente.
• Convergência Numérica: Com n=10, o erro do método numérico é pequeno. O valor obtido numericamente deve estar muito próximo de \sin(1).
• Eliminação de Distratores:
• Alternativas B, C e D são significativamente menores que o valor real.
• Alternativa E é significativamente maior.
• Apenas a opção A reflete a área sob a curva correta no intervalo dado.

Conclusão

A alternativa correta é a A, pois representa a aproximação mais fiel ao valor exato da integral \sin(1).