Assinale a única alternativa que apresenta o valor da integral de cos(-x) no intervalo de 0 a 1. Divida o intervalo de integração em 10 partes. Utilize o método dos Trapézios:

Alternativa A

Para resolver esta questão, utilizaremos o Método Numérico dos Trapézios, uma técnica comum em cálculo numérico para aproximar integrais definidas quando não é possível ou conveniente encontrar a primitiva exata (embora neste caso ela exista).

Introdução ao Problema

A questão solicita o valor da integral da função f(x) = \cos(-x) no intervalo [0, 1], dividido em n = 10 partes.

Primeiro, simplificamos a função observando que o cosseno é uma função par:
f(x) = \cos(-x) = \cos(x)

Isso significa que podemos trabalhar diretamente com \cos(x), pois seus valores são simétricos em relação ao eixo y.

Desenvolvimento do Cálculo

1. Cálculo da amplitude (h):
A largura de cada subintervalo é dada por:
h = \frac{b - a}{n} = \frac{1 - 0}{10} = 0,1

2. Pontos de amostragem (x_i):
Os pontos onde avaliaremos a função serão: $0, 0,1, 0,2, ..., 1,0$.

3. Aplicação da Fórmula dos Trapézios:
A fórmula geral é:
I \approx \frac{h}{2} \left[ f(x_0) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n) \right]

Substituindo os valores:
I \approx \frac{0,1}{2} \left[ \cos(0) + 2(\cos(0,1) + \cos(0,2) + ... + \cos(0,9)) + \cos(1) \right]

4. Valores das funções (em radianos):

• f(0) = 1
• f(1) \approx 0,5403
• Soma dos termos intermediários (\sum_{i=1}^{9} \cos(0,1i)):
• \cos(0,1) \approx 0,9950
• \cos(0,2) \approx 0,9801
• \cos(0,3) \approx 0,9553
• \cos(0,4) \approx 0,9211
• \cos(0,5) \approx 0,8776
• \cos(0,6) \approx 0,8253
• \cos(0,7) \approx 0,7648
• \cos(0,8) \approx 0,6967
• \cos(0,9) \approx 0,6216
• Soma total \approx 7,6375

Análise Final

Substituindo na equação principal:

Arredondando para três casas decimais, temos 0,841.

Conforme as opções apresentadas:

A alternativa que apresenta o valor calculado corretamente é a A.