Assinale a única alternativa que apresenta o valor da integral sen²(x) no intervalo de 0 a 1. Utilize o método de Romberg, com aproximação até n = 2:

Alternativa A

O problema exige o cálculo numérico da integral \int_0^1 \sin^2(x) \, dx utilizando o Método de Romberg. Este método melhora a precisão da Regra do Trapézio através da Extrapolação de Richardson, eliminando termos de erro sucessivamente.

Com a restrição de aproximação até n = 2, devemos construir a tabela de Romberg considerando os passos de subdivisão h=1, h=0.5 e h=0.25. O valor final mais confiável será o último elemento calculado na segunda iteração (R_{2,3}).

Análise Detalhada

1. Cálculo da Regra do Trapézio (R_{k,1}):

• Para n=0 (h=1): R_{0,1} \approx 0,354037
• Para n=1 (h=0,5): R_{1,1} \approx 0,291943
• Para n=2 (h=0,25): R_{2,1} \approx 0,277431

1. Aplicação da Extrapolação de Richardson:

• A fórmula para melhorar a ordem de convergência é:
  R_{k,j} = \frac{4^{j-1} R_{k, j-1} - R_{k-1, j-1}}{4^{j-1} - 1}
• Segunda Coluna (j=2): Combina R_{k,1} e R_{k-1,1} para obter aproximação de Simpson.
• R_{1,2} \approx 0,271245
• R_{2,2} \approx 0,272594
• Terceira Coluna (j=3): Combina R_{k,2} e R_{k-1,2} para maior precisão.
• R_{2,3} = \frac{16(0,272594) - 0,271245}{15} \approx 0,272684

1. Comparação com o Valor Exato:

• O valor analítico da integral é:
  \int_0^1 \sin^2(x) dx = \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} \right]_0^1 \approx 0,272676
• O resultado aproximado por Romberg ($0,272684$) arredonda-se para 0,27268, apresentando uma diferença mínima de erro.

Conclusão

A alternativa que apresenta o valor calculado corretamente pelo método de Romberg com n=2 é a A. As demais opções divergem significativamente do valor real e das etapas de refinamento numérico.