Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(0,4) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = 2.sen(y), sendo y(0) = 3. Considere h = 0,1. Utilize o método de Euler:

Alternativa A

Para resolver esta questão, utilizaremos o Método de Euler, um algoritmo numérico utilizado para aproximar a solução de equações diferenciais ordinárias (EDOs) quando não é possível encontrar uma solução analítica exata ou quando se deseja uma estimativa rápida.

1. Formulação do Problema

Dada a EDO:
y' = f(x, y) = 2 \cdot \text{sen}(y)

Com as condições iniciais:

• Ponto inicial: x_0 = 0
• Valor inicial: y_0 = 3
• Tamanho do passo: h = 0,1
• Objetivo: Encontrar y_4 correspondente a x = 0,4.

Como o intervalo total é de 0,4 e o passo é 0,1, realizaremos 4 iterações (passos).

2. Fórmula do Método de Euler

A fórmula geral para atualizar o valor de y é:
y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)

No nosso caso, como a função não depende explicitamente de x:
y_{n+1} = y_n + 0,1 \cdot [2 \cdot \text{sen}(y_n)]
y_{n+1} = y_n + 0,2 \cdot \text{sen}(y_n)

Atenção: Em cálculos de cálculo diferencial e numérico, o argumento da função seno deve estar sempre em radianos.

3. Realização das Iterações

Vamos calcular passo a passo, mantendo algumas casas decimais para precisão:

Ao final da 4ª iteração (x=0,4), chegamos ao valor aproximado de 3,083.

4. Conclusão

Comparando o resultado obtido ($3,083$) com as alternativas apresentadas:

• (A) 3,084
• (B) 3,184
• (C) 3,284
• (D) 3,384
• (E) 3,484

O valor calculado está extremamente próximo da alternativa A, considerando pequenas variações de arredondamento durante os passos intermediários. As outras alternativas apresentam desvios muito maiores.

Portanto, a alternativa correta é a A.