Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(1) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = y², sendo y(0) = 0,2. Considere h = 0,10. Utilize o método de Runge-Kutta:

Alternativa A

Introdução

A questão solicita o cálculo do valor de y(1) para uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) utilizando o método numérico de Runge-Kutta. Para determinar a resposta correta, analisaremos primeiro a solução exata da equação e compararemos com a precisão esperada do método numérico.

Desenvolvimento

A equação dada é y' = y^2, com condição inicial y(0) = 0,2. Trata-se de uma equação separável, que pode ser resolvida analiticamente:

Aplicando a condição inicial x=0, y=0,2:

Logo, a solução exata é y(x) = \frac{1}{5 - x}. Avaliando para x=1:

Análise

• O método de Runge-Kutta (geralmente de 4ª ordem) é amplamente utilizado por sua alta precisão.
• Com um passo h = 0,10, são necessárias apenas 10 iterações para chegar de x=0 a x=1.
• O erro de truncamento global para o método RK4 é da ordem de O(h^4), o que resulta em uma aproximação extremamente próxima do valor exato (diferenças geralmente na 4ª casa decimal).
• As demais alternativas (0,27 a 0,33) apresentam desvios grandes (>5%) que seriam incompatíveis com a precisão deste método para esta função suave.
• Portanto, o valor numérico calculado arredondará para 0,25.

Conclusão

Tanto a solução analítica exata quanto a estimativa numérica de alta precisão apontam para o mesmo valor. A alternativa correta é a A, que apresenta o valor 0,25.