Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(1) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = y², sendo y(0) = 0,2.

Alternativa A - 0,25

Análise do Problema

Esta questão trata da resolução numérica de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem utilizando o método clássico de Runge-Kutta de 4ª ordem (RK4).

1. Dados do Problema

• Equação: y' = f(x, y) = y^2
• Condição Inicial: x_0 = 0, y_0 = 0,2
• Passo (h): $0,10$
• Objetivo: Encontrar y(1)

Para atingir x = 1 partindo de x = 0 com passo h = 0,1, serão necessárias 10 iterações.

2. O Método de Runge-Kutta (RK4)

O método RK4 é um algoritmo iterativo que estima o próximo valor de y com base em quatro coeficientes intermediários (k_1, k_2, k_3, k_4). Ele é conhecido por sua alta precisão, onde o erro global é proporcional a h^4.

A fórmula geral para avançar um passo é:
y_{n+1} = y_n + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)

Onde:

• k_1 = h \cdot f(x_n, y_n)
• k_2 = h \cdot f(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_1}{2})
• k_3 = h \cdot f(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_2}{2})
• k_4 = h \cdot f(x_n + h, y_n + k_3)

3. Validação via Solução Analítica

Embora o enunciado peça o uso do método numérico, podemos encontrar a solução exata da equação para validar a resposta esperada, pois a equação é separável e fácil de integrar.

Resolução Analítica:
\frac{dy}{dx} = y^2 \Rightarrow \int y^{-2} dy = \int dx
-\frac{1}{y} = x + C

Aplicando a condição inicial y(0) = 0,2:
-\frac{1}{0,2} = 0 + C \Rightarrow -5 = C

A função solução é:
-\frac{1}{y} = x - 5 \Rightarrow y(x) = \frac{1}{5 - x}

Calculando para x = 1:
y(1) = \frac{1}{5 - 1} = \frac{1}{4} = \mathbf{0,25}

4. Comparação com o Método Numérico

O método de Runge-Kutta de 4ª ordem possui uma taxa de convergência muito rápida. Com um passo h = 0,1, o erro acumulado após 10 iterações é extremamente baixo (da ordem de $10^{-5}$ ou menor).

Isso significa que o valor obtido numericamente será praticamente idêntico ao valor da solução exata nas casas decimais fornecidas nas alternativas.

As outras alternativas (0,27; 0,29; etc.) representam desvios muito grandes que não seriam gerados por um método de alta precisão como o RK4 com esse passo.

Conclusão

O valor calculado pelo método de Runge-Kutta aproxima-se tanto da solução exata que a alternativa correta é aquela que coincide com o valor analítico.

Alternativa A.