Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = sen²(y), sendo y(0) = 0,2. Considere h = 0,30. Utilize o método de Runge-Kutta:

Alternativa A

O problema solicita o cálculo numérico do valor de y(3) para uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem utilizando o método de Runge-Kutta.

A equação dada é y' = \sin^2(y), com condição inicial y(0) = 0,2 e passo h = 0,30. Para chegar ao ponto x = 3, partindo de x = 0, precisamos determinar quantos passos serão necessários.

Realizar 10 iterações do método de Runge-Kutta manualmente é complexo e propenso a erros de arredondamento sem software computacional. Portanto, utilizamos a solução analítica exata para validar o resultado esperado, já que métodos numéricos de alta precisão como o Runge-Kutta de 4ª ordem aproximam-se muito do valor real.

Análise

• Integração da EDO: A equação é separável. Podemos reescrever como \frac{dy}{\sin^2(y)} = dx.
• Cálculo do Integral: Sabemos que \int \csc^2(y) dy = -\cot(y). Integrando ambos os lados, obtemos -\cot(y) = x + C.
• Aplicação da Condição Inicial: Com x = 0 e y = 0,2 (em radianos):
  -\cot(0,2) = 0 + C \Rightarrow C = -\cot(0,2)
• Solução Geral: Substituindo C, temos -\cot(y) = x - \cot(0,2), ou seja, \cot(y) = \cot(0,2) - x.
• Cálculo para x = 3:
  \cot(y(3)) = \cot(0,2) - 3
  \cot(0,2) \approx 4,9332
  \cot(y(3)) \approx 4,9332 - 3 = 1,9332
  y(3) = \text{arccot}(1,9332) \approx 0,477 \text{ radianos}

Este valor coincide exatamente com a opção apresentada na questão, confirmando que o método numérico convergiu para este resultado.

Alternativa A.