Assinale o valor do limite: \lim_{x\rightarrow -1} \frac{\sqrt{-x}-1}{x+1}

Alternativa B

Para encontrar o valor do limite \lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}, precisamos resolver uma indeterminação do tipo \frac{0}{0}. Isso ocorre porque, ao substituir x por $1$, tanto o numer quanto o denominador se anulam.

Análise

Existem dois métodos principais para resolver essa indeterminação sem usar regras avançadas como L'Hôpital: racionalização ou fatoração.

Passo 1: Identificar a Indeterminação
Substituímos x = 1 na expressão:
\frac{\sqrt{1}-1}{1-1} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}
Como temos \frac{0}{0}, precisamos simplificar a fração.

Passo 2: Resolver pela Racionalização
Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador (\sqrt{x} + 1):
\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1} \cdot \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}

No numerador, aplicamos a propriedade do produto notável (a-b)(a+b) = a^2 - b^2:
(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1) = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = x - 1

A expressão fica agora:
\lim_{x \to 1^+} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x}+1)}

Passo 3: Simplificar e Calcular
Podemos cancelar o termo (x-1) que aparece no numerador e no denominador:
\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\sqrt{x}+1}

Agora, realizamos a substituição novamente:
\frac{1}{\sqrt{1}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}

Portanto, o valor do limite é \frac{1}{2}.

Alternativa B.