Assinale o valor do limite $\lim_{x\to 1^+} \frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$

Alternativa B

Para encontrar o valor do limite, precisamos analisar a expressão quando x tende a 1.

Passo 1: Teste Direto e Indeterminação

Se tentarmos substituir x = 1 diretamente na fração, teremos:

• Numerador: \sqrt{1} - 1 = 0
• Denominador: $1 - 1 = 0$

Obtemos uma indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$. Isso significa que não podemos calcular o limite apenas substituindo o valor; precisamos simplificar a expressão algébrica primeiro.

Passo 2: Simplificação Algébrica

Existem duas formas principais de resolver isso: racionalizar o numerador ou fatorar o denominador. Vamos utilizar a fatoração do denominador usando a diferença de quadrados, que é mais direta neste caso.

Sabemos que a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). No nosso denominador, temos x - 1. Podemos reescrever x como (\sqrt{x})^2 e $1$ como $1^2$:
x - 1 = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)

Agora, substituímos essa forma fatorada no limite original:
\lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}

Passo 3: Cancelamento e Cálculo Final

Como x tende a 1, mas não é igual a 1, o termo (\sqrt{x} - 1) é diferente de zero. Portanto, podemos cancelá-lo no numerador e no denominador:

Agora sim, podemos substituir x = 1 sem obter indeterminação:

Portanto, o valor do limite é \frac{1}{2}.