Calculando a integral dupla ∫₀³ ∫₁² x²y dy dx termos

Alternativa E

Para resolver a integral dupla \int_{0}^{3} \int_{1}^{2} x^2 y \, dy \, dx, devemos seguir a ordem indicada pelos diferenciais, começando pela parte mais interna.

Resolução Passo a Passo

1. Integração Interna (variável y)
Primeiro, calculamos a integral em relação a y, mantendo x como constante:
\int_{1}^{2} x^2 y \, dy = x^2 \int_{1}^{2} y \, dy

A primitive de y é \frac{y^2}{2}. Aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
x^2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{1}^{2} = x^2 \left( \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right)
= x^2 \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) = x^2 \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{3}{2}x^2

2. Integração Externa (variável x)
Agora, substituímos o resultado na integral externa e integramos em relação a x, dos limites 0 a 3:
\int_{0}^{3} \frac{3}{2}x^2 \, dx

A primitive de x^2 é \frac{x^3}{3}:
\frac{3}{2} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = \frac{3}{2} \left( \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right)
= \frac{3}{2} \left( \frac{27}{3} \right) = \frac{3}{2} \cdot 9 = \frac{27}{2}

Análise

• Ordem de Integração: Em integrais duplas iteradas, resolve-se primeiro a integral do lado direito (dy) e depois a do lado esquerdo (dx).
• Tratamento de Constantes: Ao integrar em relação a uma variável, a outra deve ser tratada como um coeficiente numérico fixo.
• Cálculo Final: A multiplicação \frac{3}{2} \times 9 resulta diretamente no valor final \frac{27}{2}.

A resposta correta corresponde à alternativa que apresenta esse valor fracionário.

Alternativa E.