Calcular a integral dupla ∫∫R ysen(xy)dA onde se R = [1, 2] × [0, π]

Para resolver esta questão de cálculo de integral dupla, precisamos analisar o domínio de integração e escolher a ordem mais conveniente para realizar os cálculos.

Alternativa B

O problema pede o cálculo da integral dupla:
I = \iint_R y \sin(xy) \, dA
onde o domínio é R = [1, 2] \times [0, \pi].

Isso significa que as variáveis estão limitadas por:

• $1 \leq x \leq 2$
• $0 \leq y \leq \pi$

Podemos escrever a integral iterada como:
I = \int_{0}^{\pi} \int_{1}^{2} y \sin(xy) \, dx \, dy
ou
I = \int_{1}^{2} \int_{0}^{\pi} y \sin(xy) \, dy \, dx

Desenvolvimento do Cálculo

Escolhemos integrar primeiro em relação a x (variável interna) e depois em relação a y. Isso ocorre porque a derivada de \cos(xy) em relação a x envolve um termo y que cancela o fator y multiplicando a função seno, simplificando drasticamente o cálculo.

Passo 1: Integração Interna (em relação a x)
Tratamos y como constante:
\int_{1}^{2} y \sin(xy) \, dx
Sabemos que \int \sin(ax) \, dx = -\frac{1}{a} \cos(ax). Aqui, a = y.
= y \left[ -\frac{1}{y} \cos(xy) \right]_{x=1}^{x=2}
O y no numerador cancela com o y no denominador:
= \left[ -\cos(xy) \right]_{1}^{2}
Aplicando os limites de x:
= -\cos(2y) - (-\cos(1y)) = \cos(y) - \cos(2y)

Passo 2: Integração Externa (em relação a y)
Agora integramos o resultado anterior de $0$ a \pi:
\int_{0}^{\pi} (\cos(y) - \cos(2y)) \, dy
As antiderivadas são:

• De \cos(y) é \sin(y)
• De \cos(2y) é \frac{1}{2}\sin(2y)

Calculando os valores nos limites:
\left[ \sin(y) - \frac{1}{2}\sin(2y) \right]_{0}^{\pi}
Substituindo y = \pi:
\sin(\pi) - \frac{1}{2}\sin(2\pi) = 0 - 0 = 0
Substituindo y = 0:
\sin(0) - \frac{1}{2}\sin(0) = 0 - 0 = 0
Resultado final: $0 - 0 = 0$.

Análise

• Escolha da Ordem: Integrar primeiro em relação a x é muito mais rápido porque a constante y se simplifica algebricamente ao integrar o seno. Se integrássemos primeiro em relação a y, seria necessário usar integração por partes, tornando o processo mais longo.
• Propriedades Trigonométricas: O valor das funções seno múltiplas de \pi (como \sin(\pi) e \sin(2\pi)) é sempre zero, o que elimina todos os termos no cálculo final.
• Conclusão Lógica: Como o resultado matemático aponta exatamente para zero, não há necessidade de aproximações ou erros de arredondamento.

Conclusão

O valor da integral dupla é 0, o que corresponde à alternativa B.