Calcular o centroide do disco circular x² + y² ≤ 4 com y ≥ 0.

Análise da Questão

A questão solicita o cálculo do centróide de um disco semicircular definido pela região x^2 + y^2 \leq a^2 com y \geq 0. Isso representa a metade superior de um círculo de raio a centrado na origem.

Apesar da sobreposição azul ("Clique para reativar"), as equações e as alternativas são legíveis. O objetivo é encontrar as coordenadas (\bar{x}, \bar{y}).

Passo a Passo da Solução

1. Análise de Simetria (\bar{x}):
   A região é simétrica em relação ao eixo y (o lado esquerdo do círculo espelha o direito). Portanto, a coordenada horizontal do centro de massa deve ser zero.
   \bar{x} = 0
   Todas as alternativas apresentam \bar{x} = 0, confirmando este ponto.
2. Cálculo da Coordenada Vertical (\bar{y}):
   A fórmula para a coordenada \bar{y} de uma região homogênea é dada por:
   \bar{y} = \frac{M_x}{A} = \frac{\iint_R y \, dA}{\text{Área}(R)}

• Cálculo da Área (A):
  A área de um semicírculo de raio a é metade da área do círculo completo:
  A = \frac{1}{2} \pi a^2
• Cálculo do Momento Estático (M_x):
  Para facilitar a integração em regiões circulares, utilizamos coordenadas polares:
• x = r \cos \theta
• y = r \sin \theta
• Elemento de área dA = r \, dr \, d\theta
• Limites: r de $0$ a a, e \theta de $0$ a \pi (semicírculo superior).

Resolvendo as integrais separadamente:
\int_{0}^{\pi} \sin \theta \, d\theta = [-\cos \theta]_0^{\pi} = -(-1) - (-1) = 2
\int_{0}^{a} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^{a} = \frac{a^3}{3}

Multiplicando os resultados:
M_x = 2 \cdot \frac{a^3}{3} = \frac{2a^3}{3}

• Determinação de \bar{y}:
  Dividindo o momento pela área:
  \bar{y} = \frac{\frac{2a^3}{3}}{\frac{\pi a^2}{2}}
  \bar{y} = \frac{2a^3}{3} \cdot \frac{2}{\pi a^2}
  \bar{y} = \frac{4a}{3\pi}

Conclusão

As coordenadas do centróide são:
(\bar{x}, \bar{y}) = \left( 0, \frac{4a}{3\pi} \right)

Comparando com as alternativas apresentadas na imagem:

• A: (0, 2a/\pi)
• B: $(0, 4a/3\pi)$
• C: (0, 3a/\pi)
• D: (0, a/\pi)

A alternativa correta é a B.

Alternativa B