Calcule a área da superfície do gráfico z = f(x,y) = 3x sobre a região retangular 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 3

Alternativa D - $6\sqrt{10}$

Introdução

Para calcular a área da superfície definida por um gráfico z = f(x, y) sobre uma região D, utilizamos uma integral dupla que incorpora a inclinação da superfície em relação aos planos coordenados. O problema fornece explicitamente a fórmula necessária para este cálculo.

Desenvolvimento do Cálculo

1. Identificação dos dados

• Função: z = f(x, y) = 3x
• Região D: Um retângulo onde $0 \leq x \leq 2$ e $0 \leq y \leq 3$

2. Cálculo das derivadas parciais
Precisamos encontrar as taxas de variação da função em relação a x e a y:

• Derivada em relação a x:
  \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial (3x)}{\partial x} = 3
• Derivada em relação a y:
  \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial (3x)}{\partial y} = 0
  (Note que como não há termo com y na função, a derivada é zero)

3. Substituição na fórmula da área
Substituímos as derivadas na raiz quadrada da fórmula dada:
\sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} = \sqrt{1 + (3)^2 + (0)^2}
= \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}

4. Avaliação da integral dupla
Agora integramos essa constante sobre a região D:
A(S) = \int_{0}^{3} \int_{0}^{2} \sqrt{10} \, dx \, dy

Como \sqrt{10} é uma constante, podemos simplificá-la para fora da integral ou simplesmente multiplicar pela área da região D:
A(S) = \sqrt{10} \times (\text{Área do retângulo } D)
\text{Área de } D = (2 - 0) \times (3 - 0) = 6
A(S) = 6\sqrt{10}

Análise das Alternativas

Conclusão

A área da superfície solicitada é $6\sqrt{10}$, o que corresponde à alternativa D.