Calcule a derivada, o valor da derivada, a integral indefinida e a integral definida das funções fornecidas.

Resolução dos Exercícios de Cálculo

Esta questão apresenta um conjunto de problemas de Cálculo Diferencial e Integral, abordando derivadas, integrais indefinidas e definidas. Abaixo, apresento a resolução detalhada de cada item.

1. Derivadas Indiretas

Item a) y = 4 \sen x \cdot \cos x
Para simplificar, utilizamos a identidade trigonométrica fundamental \sen(2x) = 2 \sen x \cos x.
y = 2 \cdot (2 \sen x \cos x) = 2 \sen(2x)
Aplicando a regra da cadeia:
y' = 2 \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' = 4 \cos(2x)

Item b) y = \frac{\cot g x}{1 - \sen x}
Utilizamos a Regra do Quociente: (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.

• u = \cot g x \Rightarrow u' = -\csc^2 x
• v = 1 - \sen x \Rightarrow v' = -\cos x

Substituindo na fórmula:
y' = \frac{-\csc^2 x (1 - \sen x) - (\cot g x)(-\cos x)}{(1 - \sen x)^2}
y' = \frac{-\csc^2 x (1 - \sen x) + \frac{\cos^2 x}{\sen x}}{(1 - \sen x)^2}

2. Valores das Derivadas

Item a) f(x) = \tg x + \sec x para x = \frac{\pi}{6}
Calculamos a derivada primeiro:
f'(x) = \sec^2 x + \sec x \tg x
Avaliamos para x = \frac{\pi}{6} (\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sen \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}):

• \sec \frac{\pi}{6} = \frac{2}{\sqrt{3}}
• \tg \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}

Item b) f(x) = x^2 \cdot \tg x para x = \pi
Usamos a Regra do Produto:
f'(x) = 2x \tg x + x^2 \sec^2 x
Avaliamos para x = \pi (\tg \pi = 0, \sec \pi = -1):
f'(\pi) = 2(\pi)(0) + (\pi)^2 (-1)^2 = 0 + \pi^2 = \pi^2

3. Integrais Indefinidas

Item a) \int \cos(3x) d\theta
Atenção: O diferencial está escrito como d\theta, mas o contexto sugere um erro de digitação para dx. Assumiremos dx para fins pedagógicos.
\int \cos(3x) dx = \frac{1}{3} \sen(3x) + C

Item b) \int (\cosec^2 \theta - 2e^\theta) d\theta
Integramos termo a termo usando fórmulas básicas:

• \int \cosec^2 \theta d\theta = -\cot g \theta
• \int e^\theta d\theta = e^\theta

4. Integrais Definidas

Item a) \int_0^\pi (2\sen x + 3\cos x + 1) dx
Encontramos a primitiva e aplicamos o Teorema Fundamental:
[-2\cos x + 3\sen x + x]_0^\pi
Substituímos os limites:

• Superior (\pi): -2(-1) + 3(0) + \pi = 2 + \pi
• Inferior ($0$): -2(1) + 3(0) + 0 = -2

Item b) \int_0^{\pi/3} (\sec^2 \theta) d\theta
Sabemos que a primitiva de \sec^2 \theta é \tg \theta:
[\tg \theta]_0^{\pi/3}
\tg(\frac{\pi}{3}) - \tg(0) = \sqrt{3} - 0 = \sqrt{3}

Conclusão

Os cálculos foram realizados utilizando as regras padrão de derivação (produto, quociente, cadeia) e integração básica. Os resultados finais são:

1. a) $4\cos(2x)$; b) Fórmula do quociente simplificada.
2. a) $2$; b) \pi^2.
3. a) \frac{1}{3}\sen(3x) + C; b) -\cot g \theta - 2e^\theta + C.
4. a) $4 + \pi$; b) \sqrt{3}.