Calcule a integral ∬ cos(y) dy dx

Alternativa D

O problema solicita o cálculo de uma integral dupla definida. Vamos resolver passo a passo para entender a lógica matemática envolvida.

A expressão dada é:
I = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{x} x \cos(y) \, dy \, dx

Passo 1: Resolver a integral interna em relação a y

Nesta etapa, tratamos a variável x como uma constante, pois estamos integrando apenas em função de y.

• A primitiva de \cos(y) é \sin(y).
• Aplicamos os limites de integração de $0$ até x:
  \int_{0}^{x} x \cos(y) \, dy = x \cdot [\sin(y)]_{0}^{x}
• Substituindo os limites:
  x \cdot (\sin(x) - \sin(0))
  Como sabemos que \sin(0) = 0, o resultado desta parte é simplesmente:
  x \sin(x)

Passo 2: Resolver a integral externa em relação a x

Agora devemos integrar o resultado obtido no passo anterior, de $0$ a \pi:
I = \int_{0}^{\pi} x \sin(x) \, dx

Para resolver essa integral, utilizamos o método de integração por partes, baseado na fórmula \int u \, dv = uv - \int v \, du.

• Definimos u = x, logo du = dx
• Definimos dv = \sin(x) \, dx, logo v = -\cos(x)

Aplicando a fórmula:
\left[ -x \cos(x) \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} (-\cos(x)) \, dx
= \left[ -x \cos(x) \right]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \cos(x) \, dx

Calculando os termos:

1. Termo principal: (-\pi \cos(\pi)) - (-0 \cos(0))
   Como \cos(\pi) = -1, temos (-\pi \cdot -1) = \pi.
2. Integral restante: [\sin(x)]_{0}^{\pi}
   Como \sin(\pi) = 0 e \sin(0) = 0, este termo resulta em $0$.

Somando tudo:
I = \pi + 0 = \pi

Conclusão

O valor calculado da integral é exatamente \pi. Portanto, a opção correta é a D.