Calcule a integral dupla dada por ∫∫R (x + y) dA, sabendo que R é uma região triangular compreendida pelas retas y = -x + 1, y = x + 1 e y = 3

Alternativa [Resultado: 28/3]

O objetivo é calcular a integral dupla \iint_R (x+y) \, dA sobre a região triangular R delimitada por três retas. Como as opções não foram exibidas na imagem, apresentamos o cálculo detalhado para identificar o valor correto.

Análise da Região de Integração

Primeiro, precisamos entender a geometria da região R para definir os limites corretos. As fronteiras são definidas pelas equações:

• Esquerda: y = -x + 1 \Rightarrow x = 1 - y
• Direita: y = x + 1 \Rightarrow x = y - 1
• Topo: y = 3

Encontrando os vértices do triângulo:

• Interseção das retas inclinadas: $1 - y = y - 1 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1$. Logo, o vértice inferior é (0, 1).
• Interseção com y = 3:
• Lado esquerdo: x = 1 - 3 = -2. Ponto (-2, 3).
• Lado direito: x = 3 - 1 = 2. Ponto (2, 3).

Como a região é limitada por y variando de $1$ a $3$ e x variando entre as duas retas inclinadas, escolhemos a ordem de integração dx \, dy (integrar em relação a x primeiro).

Desenvolvimento do Cálculo

A integral fica definida como:
I = \int_{1}^{3} \int_{1-y}^{y-1} (x+y) \, dx \, dy

1. Integração Interna (em relação a x)
Tratamos y como constante:
\int_{1-y}^{y-1} (x+y) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + xy \right]_{x=1-y}^{x=y-1}

Ao substituir os limites, note que o termo quadrático se cancela devido à simetria em torno de x=0 para este intervalo específico, ou calculamos diretamente:
\text{Resultado interno} = 2y^2 - 2y

2. Integração Externa (em relação a y)
Integramos o resultado obtido de y=1 até y=3:
I = \int_{1}^{3} (2y^2 - 2y) \, dy
I = \left[ \frac{2y^3}{3} - y^2 \right]_{1}^{3}

Substituindo os limites superiores e inferiores:

• Em y = 3: \frac{2(27)}{3} - 9 = 18 - 9 = 9
• Em y = 1: \frac{2(1)}{3} - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}

Finalmente, subtraímos o valor inferior do superior:
I = 9 - \left( -\frac{1}{3} \right) = 9 + \frac{1}{3} = \frac{28}{3}

Conclusão

O valor exato da integral dupla é \frac{28}{3}. Ao verificar as alternativas disponíveis no exame original, você deve selecionar a opção que corresponde a esse valor fracionário.