Calcule a integral dupla ∫∫R (X - 3y²) dA onde R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}

Alternativa E

Para calcular a integral dupla solicitada, devemos interpretar a região de integração e aplicar as propriedades das integrais iteradas.

Análise do Problema

A integral dada é:
I = \iint_R (x - 3y^2) \, dA

A região R é definida por:
R = \{(x, y) \mid 0 \le x \le 2, \, 1 \le y \le 2\}

Isso representa um retângulo no plano cartesiano. Como os limites de x e y são constantes, podemos converter a integral dupla em uma integral iterada facilmente.

Passo a Passo da Resolução

1. Montagem da Integral Iterada
Podemos integrar primeiramente em relação a x e depois em relação a y (ou vice-versa). Vamos adotar a ordem dx \, dy:

2. Integração Interna (em relação a x)
Consideramos y como constante. As antiderivadas são:

• De x: \frac{x^2}{2}
• De -3y^2: -3y^2x

Aplicando os limites de $0$ a $2$:
\left[ \frac{x^2}{2} - 3y^2x \right]_{0}^{2}
= \left( \frac{2^2}{2} - 3y^2(2) \right) - \left( \frac{0^2}{2} - 3y^2(0) \right)
= (2 - 6y^2) - 0 = 2 - 6y^2

3. Integração Externa (em relação a y)
Agora integramos o resultado encontrado em relação a y, dos limites $1$ a $2$:

As antiderivadas são:

• De $2$: $2y$
• De -6y^2: -6 \cdot \frac{y^3}{3} = -2y^3

Aplicando os limites de $1$ a $2$:
\left[ 2y - 2y^3 \right]_{1}^{2}

Substituindo os valores:

• Para y = 2: $2(2) - 2(2^3) = 4 - 2(8) = 4 - 16 = -12$
• Para y = 1: $2(1) - 2(1^3) = 2 - 2(1) = 0$

4. Cálculo Final
I = (-12) - (0) = -12

Conclusão

O valor da integral dupla é -12, o que corresponde à Alternativa E.