Calcule a integral imprópria $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x} dx$

Alternativa B - +∞

Análise do integral impróprio

Um integral impróprio com limites infinitos é calculado como a soma de limites:
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x} dx = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{0} e^{-x} dx + \lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} e^{-x} dx

Cálculo da primeira parcela (\lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{0} e^{-x} dx)

A antiderivada de e^{-x} é -e^{-x}. Avaliando de a a $0$:
\int_{a}^{0} e^{-x} dx = \left[ -e^{-x} \right]_{a}^{0} = (-e^{0}) - (-e^{-a}) = -1 + e^{-a}
Como a \to -\infty, e^{-a} = e^{\infty} \to \infty, então o limite é \infty.

Cálculo da segunda parcela (\lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} e^{-x} dx)

Avaliando de $0$ a b:
\int_{0}^{b} e^{-x} dx = \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{b} = (-e^{-b}) - (-e^{0}) = -e^{-b} + 1
Como b \to \infty, e^{-b} \to 0, então o limite é $1$.

Resultado final

A soma das parcelas é \infty + 1 = \infty.

Portanto, a resposta correta é a Alternativa B.