Calcule a integral indefinida da função: \(\int \frac{x^2 + 1}{x - 1} dx\)

Resolução da Integral Indefinida

Resumo da resposta: O resultado da integral é \frac{x^2}{2} + x + 2\ln|x - 1| + C.

O problema apresenta uma integral indefinida onde o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador. Isso caracteriza uma função racional imprópria, exigindo tratamento específico antes da aplicação das regras básicas de integração.

Análise Detalhada

Para resolver a expressão \int \frac{x^2 + 1}{x - 1} dx, seguimos os seguintes passos lógicos:

• Identificação do tipo de função: Como o grau do polinômio x^2 + 1 (grau 2) é maior que o grau de x - 1 (grau 1), não podemos integrar diretamente. É necessário realizar a divisão polinomial.
• Divisão Polinomial: Dividimos o numerador pelo denominador para separar a parte inteira da fração própria.
• Realizamos a divisão: (x^2 + 1) \div (x - 1).
• Quociente: x + 1.
• Resto: $2$.
• Forma decomposta: \frac{x^2 + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{2}{x - 1}.
• Integração Termo a Termo: Aplicamos a regra da potência para os termos polinomiais e a regra logarítmica para a fração racional.
• \int (x + 1) dx = \frac{x^2}{2} + x
• \int \frac{2}{x - 1} dx = 2 \ln|x - 1|
• Adicionamos a constante de integração C, pois é uma integral indefinida.

Conclusão

Ao combinar os resultados obtidos, chegamos à solução final da integral. Lembre-se sempre de verificar se a função original está definida (o denominador não pode ser zero, logo x \neq 1) e incluir o módulo na função logarítmica.

Resultado Final:
\frac{x^2}{2} + x + 2\ln|x - 1| + C