Calcule a integral iterada ∫₀¹ ∫₀² 2ydydz.

Alternativa D - 1/3

O problema solicita o cálculo de uma integral iterada dupla. Isso significa que devemos resolver duas integrais em sequência: primeiro em relação à variável interna (y) e depois em relação à variável externa (x).

A expressão matemática é:
I = \int_{0}^{1} \left[ \int_{0}^{x} 2y \, dy \right] dx

Análise passo a passo

1. Integração Interna (em relação a y):

• Tratamos x como constante.
• A primitiva de $2y$ em relação a y é y^2.
• Aplicamos os limites de integração de $0$ até x:
  \left[ y^2 \right]_{0}^{x} = x^2 - 0^2 = x^2

1. Integração Externa (em relação a x):

• Agora substituímos o resultado da etapa anterior na integral externa.
• Temos a integral de x^2 de $0$ até $1$.
• A primitiva de x^2 é \frac{x^3}{3}.
• Aplicamos os limites de integração:
  \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}

Conclusão:
O valor final do cálculo é $1/3$. Portanto, a alternativa correta é a D.