Calcule a integral por partes da integral dada por \(\int_0^1 x^2 e^x dx\).

Alternativa B - e - 2

Introdução

A integral \int_0^1 x^2 e^x \, dx é calculada usando a técnica de integração por partes, que segue a fórmula \int_a^b u \, dv = [uv]_a^b - \int_a^b v \, du.

Desenvolvimento

1. Primeira aplicação da integração por partes:
   Escolha u = x^2 (pois sua derivada é mais simples) e dv = e^x \, dx.
   Então, du = 2x \, dx e v = e^x.
   Aplicando a fórmula:
   \int_0^1 x^2 e^x \, dx = \left[ x^2 e^x \right]_0^1 - \int_0^1 e^x \cdot 2x \, dx
   O termo \left[ x^2 e^x \right]_0^1 avalia em (1^2 \cdot e^1) - (0^2 \cdot e^0) = e - 0 = e.
2. Segunda aplicação da integração por partes:
   A integral restante é -2 \int_0^1 x e^x \, dx. Repita o processo:
   Escolha u = x e dv = e^x \, dx.
   Então, du = dx e v = e^x.
   Aplicando a fórmula novamente:
   \int x e^x \, dx = \left[ x e^x \right]_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx
   O termo \left[ x e^x \right]_0^1 avalia em (1 \cdot e^1) - (0 \cdot e^0) = e.
   A integral \int_0^1 e^x \, dx = \left[ e^x \right]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1.

Portanto, \int x e^x \, dx = e - (e - 1) = 1.

1. Resultado final:
   Substituindo de volta, a integral original fica:
   e - 2 \cdot 1 = e - 2

Análise

• A chave é aplicar a integração por partes duas vezes, cada vez escolhendo u como o polinômio (para simplificar a derivada) e dv como a função exponencial (fácil de integrar).
• O termo \left[ x^2 e^x \right]_0^1 fornece e, e a segunda parte da integral fornece -2, resultando em e - 2.

Conclusão

A integral \int_0^1 x^2 e^x \, dx é igual a e - 2, portanto a alternativa correta é B.