Calcule:

Question

Calcule: a) lim (x→ ∞) e^x cos(x) b) lim (x→+∞) (x+1 x+3) c) lim (x→0) (1 cos(x)) / sin(x) A) lim x → ∞ E) x cos ( x ) B) lim x → + ∞ ( x + 1 x + 3 ) C) lim x → 0 1 cos ( x ) sin ( x )

Sapien IA · Accepted Answer

Resolução de Limites Calculus

Análise das Questões

Vamos resolver cada um dos limites passo a passo com explicações detalhadas.

Questão A) lim x→-∞ e^x cos(x)

Alternativa: 0

Análise:

Função	Comportamento quando x→-∞
e^x	Tende a 0 (decai exponencialmente)
cos(x)	Oscila entre -1 e 1 (limitada)

Este é um caso do Teorema do Confronto (Sanduíche):

-e^x \leq e^x \cos(x) \leq e^x

Como $e^x \to 0$ quando $x \to -\infty$ , ambos os limites laterais tendem a 0. Portanto:

\lim_{x \to -\infty} e^x \cos(x) = 0

Questão B) lim x→+∞ (√(x+1) - √(x+3))

Alternativa: 0

Análise:

Este é uma indeterminação do tipo $\infty - \infty$ . Para resolver, usamos o método de racionalização:

Multiplicamos pelo conjugado:

\frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x+3})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x+3})}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+3}}

Aplicando a diferença de quadrados no numerador:

\frac{(x+1) - (x+3)}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+3}} = \frac{-2}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+3}}

Agora analisamos o limite:

\lim_{x \to +\infty} \frac{-2}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+3}} = 0

O denominador cresce infinitamente, enquanto o numerador é constante (-2).

Questão C) lim x→0 (1-cos(x))/sin(x)

Alternativa: 0

Análise:

Este é uma indeterminação do tipo 0/0. Podemos usar dois métodos:

Método 1: Regra de L'Hôpital

Derivamos numerador e denominador:

\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(1-\cos(x))}{\frac{d}{dx}\sin(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{0}{1} = 0

Método 2: Identidade Trigonométrica

Usando $1-\cos(x) = 2\sin^2(\frac{x}{2})$:

\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{x}{2})}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0} \tan(\frac{x}{2}) = 0

Ambos os métodos confirmam que o limite é 0.

Resumo Final

Item	Limite	Técnica Usada
a)	$\lim_{x \to -\infty} e^x \cos(x)$	Teorema do Confronto
b)	$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x+3})$	Racionalização
c)	$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}$	L'Hôpital ou Identidades

Conclusão: Todos os três limites resultam em 0, mas cada um exige uma técnica específica para resolver a indeterminação presente!

Explicação passo a passo

Resumo da resposta

Resolução de Limites Calculus

Análise das Questões

Questão A) lim x→-∞ e^x cos(x)

Questão B) lim x→+∞ (√(x+1) - √(x+3))

Questão C) lim x→0 (1-cos(x))/sin(x)

Método 1: Regra de L'Hôpital

Método 2: Identidade Trigonométrica

Resumo Final

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