Calcule o determinante da seguinte matriz:

Alternativa Não disponível (resultado numérico) - O valor de D_y é -1.

Introdução

A questão envolve o cálculo de um determinante de matriz 4x4, representado por D_y. O objetivo é aplicar métodos de redução ou expansão para simplificar o cálculo.

Desenvolvimento

Para calcular D_y, utilizamos a expansão沿第一行 (ou operações de linha para simplificar).

Passo 1: Simplificação com operações de linha

• Substituímos R_2 por R_2 - 2R_1: [0, 0, -1, -2]
• Substituímos R_3 por R_3 + R_1: [0, 1, 0, 0]
• Substituímos R_4 por R_4 - 2R_1: [0, -3, 0, -1]

A matriz simplificada fica:
\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & -1 \end{vmatrix}

Passo 2: Expansão沿第一列

Como a primeira coluna tem três zeros, a determinante é o elemento 1 (na posição (1,1)) multiplicado pelo determinante da matriz 3x3 resultante (removendo R_1 e C_1):
\begin{vmatrix} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & -1 \end{vmatrix}

Passo 3: Cálculo do determinante 3x3

Expandimos沿 a segunda linha (dois zeros simplificam o cálculo):
1 \cdot (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}
O determinante da matriz 2x2 é (-1)(-1) - (-2)(0) = 1. Portanto:
1 \cdot (-1) \cdot 1 = -1

Análise

• A simplificação com operações de linha reduz o número de elementos a calcular.
• A expansão沿 colunas/linhas com zeros otimiza o processo.
• Os resultados obtidos por métodos diferentes (expansão沿 primeira linha e simplificação) confirmam o valor de D_y = -1.

Conclusão: O valor de D_y é -1.