Calcule o ganho de G(s) no ponto -1+j5 determinando a distância dos polos e zeros até o ponto desejado.

Análise da Questão

A questão solicita o cálculo do ganho K da função de transferência G(s) para que o ponto s = -1 + j5 pertença ao Lugar das Raízes (Root Locus) do sistema.

Para que um ponto específico no plano complexo esteja no Lugar das Raízes, ele deve satisfazer a condição de magnitude da equação característica. Assumindo realimentação unitária, a equação característica é $1 + G(s) = 0$, o que implica |G(s)| = 1.

Isolando o ganho K, temos a relação entre as distâncias dos polos e zeros até o ponto de interesse:

Passo 1: Identificar Polos e Zeros

Primeiro, determinamos os valores de s que anulam o numerador (zeros) e o denominador (polos).

• Zeros (z):
• s + 1 = 0 \Rightarrow z_1 = -1
• s - 2 = 0 \Rightarrow z_2 = 2
• Polos (p):
• s + 3 = 0 \Rightarrow p_1 = -3
• s^2 + 8s + 41 = 0
  Utilizando a fórmula de Bhaskara para as raízes complexas:
  s = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(41)}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{-100}}{2}
  s = -4 \pm j5
  Portanto, p_2 = -4 + j5 e p_3 = -4 - j5.

Passo 2: Calcular as Distâncias Vetoriais

Calculamos a distância (módulo) de cada polo e zero até o ponto desejado s_0 = -1 + j5.

Distâncias dos Zeros (Numerador):

1. De z_1 = -1:
   |s_0 - z_1| = |-1 + j5 - (-1)| = |j5| = \mathbf{5}
2. De z_2 = 2:
   |s_0 - z_2| = |-1 + j5 - 2| = |-3 + j5| = \sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \approx \mathbf{5.83}

Distâncias dos Polos (Denominador):

1. De p_1 = -3:
   |s_0 - p_1| = |-1 + j5 - (-3)| = |2 + j5| = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{29} \approx \mathbf{5.39}
2. De p_2 = -4 + j5:
   |s_0 - p_2| = |-1 + j5 - (-4 + j5)| = |3 + j0| = \mathbf{3}
3. De p_3 = -4 - j5:
   |s_0 - p_3| = |-1 + j5 - (-4 - j5)| = |3 + j10| = \sqrt{3^2 + 10^2} = \sqrt{9 + 100} = \sqrt{109} \approx \mathbf{10.44}

Passo 3: Calcular o Ganho K

Substituímos os valores na equação de K:

Calculando o produto exato:
K = \frac{\sqrt{29} \cdot 3 \cdot \sqrt{109}}{5 \cdot \sqrt{34}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3161}}{5 \cdot \sqrt{34}} \approx \frac{168.67}{29.15}

Arredondando para duas casas decimais, obtemos 5,78.

Análise das Alternativas

• A) 8,47
• B) 6,32
• C) 3,87 (Marcação na imagem parece incorreta)
• D) 4,95
• E) 5,78 (Correspondente ao cálculo correto)

Alternativa E