Calcule o limite: lim_{x→3} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{3}}{x - 3}

O valor do limite é \frac{1}{2\sqrt{3}} (ou racionalizado: \frac{\sqrt{3}}{6}).

Introdução ao Problema

Este exercício trata de um limite indeterminado. Ao tentarmos substituir diretamente o valor x = 3 na expressão, obtemos uma forma indeterminada clássica de cálculo.

• Numerador: \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0
• Denominador: $3 - 3 = 0$

Quando temos a forma \frac{0}{0}, precisamos manipular a expressão algébrica para eliminar a indeterminação antes de calcular o valor final.

Análise Detalhada

Para resolver este limite, utilizaremos o método da racionalização do numerador. Este consiste em multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado da expressão radical.

1. Identificar o Conjugado
   O termo \sqrt{x} - \sqrt{3} tem como conjugado \sqrt{x} + \sqrt{3}. Multiplicamos a fração por \frac{\sqrt{x} + \sqrt{3}}{\sqrt{x} + \sqrt{3}}.
2. Aplicar a Identidade Notável
   Sabemos que (a-b)(a+b) = a^2 - b^2.
   (\sqrt{x} - \sqrt{3})(\sqrt{x} + \sqrt{3}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{3})^2 = x - 3
3. Simplificar a Expressão
   Após a multiplicação, o novo numerador será (x - 3), o que permite cancelar com o fator (x - 3) existente no denominador original.
   \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)}{(x - 3)(\sqrt{x} + \sqrt{3})}
4. Cancelar Fatores e Calcular
   Cancelamos (x - 3) (lembrando que x \neq 3 no limite) e substituímos x por $3$ no resultado simplificado.
   \lim_{x \to 3} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}}

Observações Adicionais

• Método Alternativo (Definição de Derivada): Este limite corresponde exatamente à definição da derivada da função f(x) = \sqrt{x} no ponto a = 3.
  f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}
  Como a derivada de \sqrt{x} é \frac{1}{2\sqrt{x}}, substituindo x=3 obtemos \frac{1}{2\sqrt{3}}.
• Racionalização do Resultado: Embora \frac{1}{2\sqrt{3}} esteja correto, é comum racionalizar o denominador nas respostas finais:
  \frac{1}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}

Conclusão

A resolução correta envolve reconhecer a indeterminação, aplicar a multiplicação pelo conjugado para eliminar os radicais e simplificar a fração. O valor final do limite é \frac{1}{2\sqrt{3}}.