Calcule o limite ou prove que não existe: \lim_{x\to \frac{3}{2}} \frac{|2x - 3|}{2x - 3}

Resumo da resposta

O limite não existe, pois os limites laterais são diferentes. O limite pela direita é igual a 1, enquanto o limite pela esquerda é igual a -1.

Introdução

Para resolver este problema, precisamos analisar o comportamento da função quando x se aproxima de \frac{3}{2}. A expressão envolve um valor absoluto no numerador e uma função linear no denominador.

Quando substituímos diretamente x = \frac{3}{2}, obtemos a forma indeterminada \frac{0}{0}. Isso indica que devemos calcular os limites laterais para verificar se eles convergem para o mesmo valor.

Desenvolvimento

A definição fundamental do valor absoluto |u| é:
|u| = \begin{cases} u & \text{se } u \geq 0 \\ -u & \text{se } u < 0 \end{cases}

No nosso caso, u = 2x - 3. O ponto crítico é onde $2x - 3 = 0$, ou seja, x = \frac{3}{2}. Precisamos analisar dois cenários:

1. Limite à direita (x \to \frac{3}{2}^+): Quando x é ligeiramente maior que \frac{3}{2}, o termo (2x - 3) é positivo.
2. Limite à esquerda (x \to \frac{3}{2}^-): Quando x é ligeiramente menor que \frac{3}{2}, o termo (2x - 3) é negativo.

Análise

Vamos calcular cada limite lateral separadamente para comparar os resultados:

• Limite Latera Direita (\lim_{x \to \frac{3}{2}^+}):
• Como x > \frac{3}{2}, temos $2x - 3 > 0$.
• Portanto, |2x - 3| = 2x - 3.
• A fração simplifica: \frac{2x - 3}{2x - 3} = 1.
• Resultado: 1.
• Limite Lateral Esquerda (\lim_{x \to \frac{3}{2}^-}):
• Como x < \frac{3}{2}, temos $2x - 3 < 0$.
• Portanto, |2x - 3| = -(2x - 3).
• A fração simplifica: \frac{-(2x - 3)}{2x - 3} = -1.
• Resultado: -1.

Comparando os dois resultados:
\lim_{x \to \frac{3}{2}^+} f(x) = 1 \quad \text{e} \quad \lim_{x \to \frac{3}{2}^-} f(x) = -1

Como $1 \neq -1$, os limites laterais não coincidem.

Conclusão

Um limite geral só existe se os limites laterais forem iguais. Neste caso específico, como há uma descontinuidade de salto na função no ponto x = \frac{3}{2}, concluímos que: