Calcule o valor de a para que a função f, definida por: f(x) = { x²/3 - 1, se x ≠ 1 { a, se x = 1 Seja contínua em (x = 1).

Análise da Questão

Alternativa C - a = 1

Para que uma função seja contínua em um determinado ponto, três condições devem ser atendidas simultaneamente:

1. A função deve estar definida naquele ponto (f(c) existe).
2. O limite da função quando x tende a c deve existir (\lim_{x \to c} f(x) existe).
3. O valor do limite deve ser igual ao valor da função (\lim_{x \to c} f(x) = f(c)).

No caso apresentado, o ponto crítico é x = 1.

Desenvolvimento

Passo 1: Analisar o limite lateral
Precisamos encontrar o comportamento da função quando x se aproxima de 1, mas sem ser igual a 1.
A expressão dada é:
\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1}

Observamos que, para qualquer x \neq 1, o numerador e o denominador são idênticos. Em álgebra, dividindo um número por ele mesmo (desde que não seja zero), obtemos 1.
Portanto, simplificamos a expressão:
\frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} = 1 \quad (\text{para } x \neq 1)

Logo, o limite é:
\lim_{x \to 1} f(x) = 1

Passo 2: Aplicar a condição de continuidade
Sabemos que o valor da função em x = 1 é dado pelo segundo caso da definição:
f(1) = a

Para garantir a continuidade, devemos igualar o limite calculado ao valor da função:
\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)
1 = a

Resumo da Solução

• Conceito Chave: Continuidade exige que o limite seja igual ao valor da função.
• Cálculo: Simplificação da fração algébrica para x \neq 1.
• Resultado: a deve ser igual a 1 para "preencher" o buraco no gráfico e tornar a linha contínua.

Alternativa C.