Calcule o valor de a para que a função f, definida por: f(x) = { x²/x-1 se x ≠ 1 a, se x = 1 Seja função contínua em (x = 1)

Alternativa E - a = 2

Para que uma função seja contínua em um determinado ponto, o limite da função nesse ponto deve ser igual ao valor da função nesse mesmo ponto. No caso apresentado, buscamos a continuidade em x = 1.

A condição matemática é expressa pela igualdade:
\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)

Sabemos pelo enunciado que f(1) = a. Portanto, precisamos calcular o limite de f(x) quando x tende a $1$ para encontrar o valor de a.

Análise

• Identificação da Indeterminação: Ao substituir x = 1 diretamente na fração \frac{x^2 - 1}{x - 1}, obtemos \frac{0}{0}, que é uma indeterminação clássica. Isso indica que precisamos simplificar a expressão algébrica.
• Fatoração do Numerador: Utilizamos a propriedade da diferença de dois quadrados para fatorar o numerador x^2 - 1. Sabemos que x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1).
• Simplificação: Substituindo na fração, temos \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}. Como estamos tratando do limite onde x \to 1 (mas x \neq 1), podemos cancelar o termo (x - 1) no numerador e no denominador.
• Cálculo Final: Após a simplificação, restou apenas (x + 1). Calculando o limite quando x \to 1, obtemos $1 + 1 = 2$. Logo, a deve ser igual a $2$.

Portanto, para garantir a continuidade da função em x = 1, o valor de a deve ser exatamente 2.