Calcule o volume de um sólido limitado pelo plano z = 0 e pelo parabolóide z = 1 - x² - y².

Alternativa A - \frac{\pi}{2}

Introdução ao Problema

Para encontrar o volume deste sólido, precisamos calcular a integral dupla da função que define a superfície superior sobre a região do plano xy delimitada pela intersecção das superfícies.

O sólido é definido por:

• Superfície superior: Parabolóide z = 1 - x^2 - y^2
• Superfície inferior: Plano z = 0 (plano cartesiano)

Desenvolvimento do Cálculo

1. Determinando a Região de Integração (D)
O sólido termina quando toca o plano z=0. Igualamos a equação do parabolóide a zero para achar a base:
1 - x^2 - y^2 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1
Isso representa um círculo unitário com raio r=1 no plano xy.

2. Escolhendo o Sistema de Coordenadas
Como a região é circular e a função envolve x^2 + y^2, a forma mais eficiente de resolver é utilizando Coordenadas Polares:

• Substituímos x^2 + y^2 por r^2.
• O elemento de área dx\,dy torna-se r\,dr\,d\theta.

3. Configurando os Limites

• Raio (r): varia de $0$ até $1$ (do centro até a borda do círculo).
• Ângulo (\theta): varia de $0$ até $2\pi$ (circunferência completa).

4. Montando a Integral
A fórmula do volume V é dada por:
V = \iint_D (1 - x^2 - y^2) \, dA

Substituindo para coordenadas polares:
V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (1 - r^2) \cdot r \, dr \, d\theta

5. Resolvendo a Integral
Primeiro, distribuímos o r:
V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (r - r^3) \, dr \, d\theta

Integramos em relação a r:
\int_{0}^{1} (r - r^3) \, dr = \left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}

Agora, integramos em relação a \theta:
V = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} \, d\theta = \frac{1}{4} \cdot [\theta]_0^{2\pi} = \frac{1}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi}{2}

Análise

• O volume calculado é \frac{\pi}{2} unidades de volume.
• Note que nas opções apresentadas na imagem, tanto a alternativa A quanto a B apresentam o valor \frac{\pi}{2}. Matematicamente, este é o resultado correto.
• Caso houvesse confusão, lembre-se da fórmula clássica do volume de um parabolóide de revolução: V = \frac{1}{2} \pi R^2 h. Aqui, R=1 e altura máxima h=1 (no vértice), resultando em \frac{1}{2}\pi(1)^2(1) = \frac{\pi}{2}.

Alternativa A (ou B, pois ambas indicam o valor correto).