Coloque em ordem a demonstração que a desigualdade na sentença aberta P(n): 2^n > n^2 é verdadeira para todo número natural n ≥ 5. 1. Note que P(1): 2^1 > 1^2 é falsa, P(2): 2^2 > 3^2 é falsa, P(3): 2^3 > 3^2 é falsa, P(4): 2^4 > 4^2 é falsa. Tudo isso não importa, pois queremos verificar a veracidade dessa desigualdade para n≥5. De fato, temos que P(5): 2^5 > 5^2 é verdadeira. 2. Seja n ≥ 5 tal que 2^n > n^2. Multiplicando ambos os lados da desigualdade acima por 2, obtemos 2^(n+1) > 2n^2. 3. Note que 2n^2 > (n + 1)^2, se n ≥ 3, pois tal desigualdade é equivalente a (n - 2) > 1. 4. Daí, deduzimos 2n+1 > (n + 1)^2, o que significa que P(n + 1) é verdadeira.

Alternativa B

A questão solicita a ordenação lógica dos passos de uma demonstração por indução matemática para provar que $2^n > n^2$ para n \ge 5.

Para realizar uma prova por indução, seguimos uma estrutura padrão:

1. Verificação do Caso Base: Comprovar que a propriedade vale para o primeiro valor permitido (n=5).
2. Hipótese de Indução: Supor que a propriedade é verdadeira para um valor arbitrário n.
3. Passo Indutivo: Usar a hipótese e manipulações algébricas para provar que a propriedade vale para n+1.

Análise dos Passos

Vamos analisar cada item numerado no enunciado para identificar sua função na demonstração:

• Item 1: "Note que P(1)... é falsa... P(5)... é verdadeira."
• Esta é a verificação do Caso Base. É o primeiro passo lógico, pois precisamos estabelecer onde a sequência começa a valer.
• Item 2: "Seja n \ge 5 tal que $2^n > n^2$. Multiplicando ambos os lados... obtemos $2^{n+1} > 2n^2$."
• Este é o início do Passo Indutivo, estabelecendo a hipótese e aplicando a primeira transformação algébrica. Deve vir após o caso base.
• Item 3: "Note que $2n^2 > (n + 1)^2$, se n \ge 3..."
• Aqui, provamos uma desigualdade auxiliar necessária para conectar o resultado do item 2 com o objetivo final. Para concluir que $2^{n+1} > (n+1)^2$, precisamos saber que $2n^2$ é maior que (n+1)^2. Portanto, este passo deve ocorrer antes da conclusão final.
• Item 4: "Daí, deduzimos que... o que significa que P(n + 1) é verdadeira."
• Esta é a Conclusão do passo indutivo. Ela sintetiza os resultados anteriores para afirmar que a proposição vale para o próximo número. Deve ser o último passo da sequência lógica.

Conclusão

A sequência lógica correta é:

1. Verificar o caso base (Item 1)
2. Estabelecer a hipótese e multiplicar por 2 (Item 2)
3. Comparar os termos quadráticos (Item 3)
4. Concluir a validade para n+1 (Item 4)

Portanto, a ordem é 1 - 2 - 3 - 4.

Alternativa B.