Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função f(x,y) = x² + y² no ponto P(1,2).

Question

Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da função f(x,y) = x² + y² no ponto P(1,2). A) u = (√5 2√5)/5 B) u = (√5 √5)/30 C) u = (2√5 4√5)/5 D) u = (√5 √5)/10 E) u = (2√5 √5)/5

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa A Para encontrar a direção de maior crescimento de uma função escalar, precisamos calcular o vetor gradiente naquele ponto específico e, em seguida, convertê lo em um vetor unitário . Conceitos Fundamentais Derivadas Parciais : Medem a taxa de variação da função em relação a cada variável independentemente ($x$ e $y$). Vetor Gradiente ($
abla f$) : É formado pelas derivadas parciais da função. Ele aponta na direção onde a função cresce mais rapidamente. Vetor Unitário : Um vetor com comprimento (módulo) igual a 1. Para normalizar, divide se o vetor original pelo seu próprio módulo. Passo a Passo da Resolução 1. Calcular o vetor gradiente da função Dada a função $f(x,y) = x^2 + y^2$, calculamos as derivadas parciais: $$ 
abla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} ight) $$ Derivada em relação a $x$: $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = 2x$ Derivada em relação a $y$: $\frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = 2y$ Logo, o gradiente geral é: $$ 
abla f(x,y) = (2x, 2y) $$ 2. Avaliar o gradiente no ponto P(1,2) Substituímos $x=1$ e $y=2$ no vetor gradiente: $$ 
abla f(1,2) = (2(1), 2(2)) = (2, 4) $$ Este é o vetor que indica a direção de maior crescimento. Agora precisamos torná lo unitário. 3. Calcular o módulo do vetor O módulo (ou norma) de um vetor $(a, b)$ é dado por $\sqrt{a^2 + b^2}$. $$ ||
abla f(1,2)|| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} $$ Simplificando a raiz quadrada: $$ \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} $$ 4. Determinar o vetor unitário ($u$) Dividimos o vetor gradiente pelo seu módulo para obter a direção unitária: $$ u = \frac{
abla f(1,2)}{||
abla f(1,2)||} = \frac{(2, 4)}{2\sqrt{5}} $$ Separando as componentes: $$ u = \left( \frac{2}{2\sqrt{5}}, \frac{4}{2\sqrt{5}} ight) = \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} ight) $$ 5. Racionalizar os denominadores Multiplicamos numerador e denominador por $\sqrt{5}$ para obter a forma padrão das alternativas: Primeira componente: $\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ Segunda componente: $\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ Assim, o vetor unitário é: $$ u = \left( \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2\sqrt{5}}{5} ight) $$ Isso corresponde exatamente à Alternativa A .

Explicação passo a passo

Conceitos Fundamentais

Passo a Passo da Resolução

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