Considerando uma função f(x), temos que o valor do coeficiente angular da reta tangente a um ponto P é dado pelo valor da derivada da função f’(x). Assim, considerando um ponto P(x₀, f(x₀)) na equação da reta tangente f(x) = f’(x₀)(x - x₀) + f(x₀). Nesse sentido, assinale a alternativa que apresenta a equação da reta tangente à função f(x) = x³ + 3x² - 1 no ponto P(1,3).

Alternativa B

Para determinar a equação da reta tangente a uma curva em um ponto específico, utilizamos a derivada da função nesse ponto para encontrar o coeficiente angular. O problema fornece a função polinomial e o ponto de tangência, permitindo aplicar diretamente as regras de cálculo diferencial.

Desenvolvimento do Cálculo

1. Identificação dos dados: Temos a função f(x) = x^3 + 3x^2 - 1 e o ponto P(1, 3), onde x_0 = 1 e y_0 = 3.
2. Cálculo da derivada: A derivada f'(x) representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto x. Derivando termo a termo, obtemos f'(x) = 3x^2 + 6x.
3. Determinação da inclinação (m): Avaliamos a derivada em x = 1 para encontrar o coeficiente angular exato da tangente.
   m = f'(1) = 3(1)^2 + 6(1) = 3 + 6 = 9
4. Equação da reta: Utilizamos a forma ponto-inclinação y - y_0 = m(x - x_0). Substituindo os valores:
   y - 3 = 9(x - 1)
   y - 3 = 9x - 9
   y = 9x - 6

Análise das Alternativas

• A alternativa B corresponde exatamente à equação linear simplificada y = 9x - 6.
• A alternativa A possui um coeficiente angular incorreto (m=2).
• A alternativa C tem o coeficiente angular correto, mas o termo independente errado (-26).
• As alternativas D e E não representam a relação linear correta para essa tangente.

Conclusão

O cálculo confirma que a equação da reta tangente é y = 9x - 6. Portanto, a resposta correta é a Alternativa B.