Considere a função real de variável real definida por f(x) = 2^x - 3x. Pode-se concluir que a função dada contém pelo menos um zero real no intervalo

Question

Considere a função real de variável real definida por f(x) = 2^x 3x. Pode se concluir que a função dada contém pelo menos um zero real no intervalo A) [ 2, 1]. B) [0, 1]. C) [1, 2]. D) [0, 1]. E) [2, 3].

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Alternativa D Para encontrar o intervalo que contém pelo menos um zero real da função, utilizamos o Teorema do Valor Intermediário (TVI) . Este teorema estabelece que, se uma função contínua $f(x)$ assume valores de sinais opostos nas extremidades de um intervalo $[a, b]$, então ela deve ter pelo menos um zero nesse intervalo. A função dada é $f(x) = 2^x 3x$. Vamos calcular o valor da função nos pontos críticos mencionados nas alternativas para verificar a mudança de sinal. Análise dos Intervalos Calcularemos $f(x)$ para os valores de $x$ que definem os limites dos intervalos propostos: | $x$ | Cálculo de $f(x) = 2^x 3x$ | Resultado | Sinal | | : | : | : | : | | 2 | $2^{ 2} 3( 2) = 0,25 + 6$ | $6,25$ | (+) Positivo | | 1 | $2^{ 1} 3( 1) = 0,5 + 3$ | $3,5$ | (+) Positivo | | 0 | $2^0 3(0) = 1 0$ | $1$ | (+) Positivo | | 1 | $2^1 3(1) = 2 3$ | $ 1$ | ( ) Negativo | | 2 | $2^2 3(2) = 4 6$ | $ 2$ | ( ) Negativo | | 3 | $2^3 3(3) = 8 9$ | $ 1$ | ( ) Negativo | Observando a tabela acima, identificamos a mudança de sinal necessária: No ponto $x = 0$, temos $f(0) = 1$ (positivo). No ponto $x = 1$, temos $f(1) = 1$ (negativo). Como a função passa de positiva para negativa entre $x=0$ e $x=1$, necessariamente ela cruza o eixo $x$ (valor zero) dentro desse intervalo. Portanto, podemos concluir que a função dada contém pelo menos um zero real no intervalo [0, 1] .

$x$	Cálculo de $f(x) = 2^x - 3x$	Resultado	Sinal
-2	$2^{-2} - 3(-2) = 0,25 + 6$	$6,25$	(+) Positivo
-1	$2^{-1} - 3(-1) = 0,5 + 3$	$3,5$	(+) Positivo
0	$2^0 - 3(0) = 1 - 0$	$1$	(+) Positivo
1	$2^1 - 3(1) = 2 - 3$	$-1$	(-) Negativo
2	$2^2 - 3(2) = 4 - 6$	$-2$	(-) Negativo
3	$2^3 - 3(3) = 8 - 9$	$-1$	(-) Negativo

Explicação passo a passo

Análise dos Intervalos

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