Resolução da Questão de Processamento Digital de Sinais
Introdução
Esta questão aborda a síntese de um filtro FIR (Finite Impulse Response) com base na especificação da resposta em amplitude. O sistema possui coeficientes simétricos h[n] = [\alpha, \beta, \alpha] com 3 pontos.
Desenvolvimento Matemático
Cálculo da Resposta em Frequência
Para um filtro FIR simétrico de 3 coeficientes, a Transformada Discreta de Fourier no Tempo (DTFT) é:
H(e^{j\Omega}) = \sum_{n=0}^{2} h[n]e^{-j\Omega n} = \alpha + \beta e^{-j\Omega} + \alpha e^{-j2\Omega}
Reorganizando com propriedades de Euler:
H(e^{j\Omega}) = e^{-j\Omega}[2\alpha\cos(\Omega) + \beta]
Portanto, a magnitude é:
|H(e^{j\Omega})| = |2\alpha\cos(\Omega) + \beta|
Sistema de Equações
Temos duas condições fornecidas:
| Frequência \Omega | Magnitude |H| |
|---|
| $0,1\pi$ | $0,15$ |
| $0,5\pi$ | $0,707$ |
Condição 1: Para \Omega = 0,5\pi, sabemos que \cos(0,5\pi) = 0:
|2\alpha(0) + \beta| = 0,707 \Rightarrow |\beta| = 0,707
Condição 2: Para \Omega = 0,1\pi, com \cos(0,1\pi) \approx 0,9511:
|2\alpha(0,9511) + \beta| = 0,15 \Rightarrow |1,9022\alpha + \beta| = 0,15
Solução dos Coeficientes
Considerando \beta = -0,707 (para obter ganho positivo):
|1,9022\alpha - 0,707| = 0,15
Resolvendo para \alpha:
1,9022\alpha - 0,707 = -0,15
1,9022\alpha = 0,557
\alpha \approx 0,293
Assim:
h[n] = [0,293, -0,707, 0,293]
## Análise
- Tipo de Filtro: A magnitude aumenta de 0,15 em baixa frequência para 0,707 em frequência média, indicando comportamento de passa-bandas
- Simetria: Coeficientes simétricos indicam fase linear
- Normalização: $0,707 \approx \frac{1}{\sqrt{2}}$ representa o ponto de -3dB (frequência de corte)
Script MATLAB de Referência
% dtft_filtro.m
clear; clc;
% Coeficientes calculados
alpha = 0.293;
beta = -0.707;
h = [alpha, beta, alpha];
% Frequências para plotagem
Omega = linspace(0, pi, 1000);
% Calcular magnitude da DTFT
H_mag = zeros(size(Omega));
for k = 1:length(Omega)
H_mag(k) = abs(alpha + beta*exp(-1j*Omega(k)) + alpha*exp(-1j*2*Omega(k)));
end
% Plotar resposta em amplitude
figure;
plot(Omega/pi, H_mag, 'LineWidth', 2);
grid on;
xlabel('\Omega / \pi');
ylabel('|H(e^{j\Omega})|');
title('Resposta em Amplitude do Filtro');
xlim([0 1]);
ylim([0 max(H_mag)*1.1]);
% Destacar pontos dados
hold on;
plot([0.1 0.5], [0.15 0.707], 'ro', 'MarkerFaceColor', 'r');
text(0.1, 0.15, ' (0.1\pi, 0.15)', 'FontSize', 10);
text(0.5, 0.707, ' (0.5\pi, 0.707)', 'FontSize', 10);
Conclusão
Alternativa c) Os cálculos resultaram em h[n] = [0,293, -0,707, 0,293]
Alternativa b) Este sistema desempenha a função de um filtro passa-bandas, pois atenua as baixas frequências e permite a passagem das frequências médias.