Alternativa D
O problema solicita o cálculo do ponto de saída dos polos (breakaway point) no Lugar das Raízes (Root Locus) para o sistema de controle apresentado. Para resolver, devemos determinar a equação característica do sistema e encontrar os valores de s onde o ganho K atinge seus extremos no eixo real.
Modelagem do Sistema
Primeiro, identificamos as funções de transferência do ramo direto e da realimentação a partir do diagrama de blocos:
- Ramo Direto (G(s)): K \cdot \frac{s-2}{s+1}
- Realimentação (H(s)): \frac{s-6}{s+5}
A função de transferência em malha aberta (Loop Gain) é o produto de ambos:
L(s) = G(s)H(s) = K \frac{(s-2)(s-6)}{(s+1)(s+5)}
A equação característica de um sistema em malha fechada é dada por $1 + L(s) = 0$. Isolando o ganho K, obtemos:
1 + K \frac{(s-2)(s-6)}{(s+1)(s+5)} = 0
K = - \frac{(s+1)(s+5)}{(s-2)(s-6)}
Expandindo os termos polinomiais:
- Numerador: (s+1)(s+5) = s^2 + 6s + 5
- Denominador: (s-2)(s-6) = s^2 - 8s + 12
Assim, temos:
K = - \frac{s^2 + 6s + 5}{s^2 - 8s + 12}
Análise Matemática
Para encontrar os pontos de separação (onde os ramos saem ou entram no eixo real), derivamos K em relação a s e igualamos a zero (\frac{dK}{ds} = 0). Utilizando a regra do quociente \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}:
- Definimos u = s^2 + 6s + 5 e v = s^2 - 8s + 12.
- Calculamos as derivadas: u' = 2s + 6 e v' = 2s - 8.
- Igualamos o numerador da derivada a zero:
(2s + 6)(s^2 - 8s + 12) - (s^2 + 6s + 5)(2s - 8) = 0
Desenvolvendo e simplificando a expressão algébrica:
- Primeiro termo: $2s^3 - 16s^2 + 24s + 6s^2 - 48s + 72 = 2s^3 - 10s^2 - 24s + 72$
- Segundo termo: $2s^3 - 8s^2 + 12s^2 - 48s + 10s - 40 = 2s^3 + 4s^2 - 38s - 40$
Subtraindo o segundo termo do primeiro:
(2s^3 - 10s^2 - 24s + 72) - (2s^3 + 4s^2 - 38s - 40) = 0
-14s^2 + 14s + 112 = 0
Dividindo toda a equação por -14:
s^2 - s - 8 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
s = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)}
s = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2}
Calculando os valores aproximados (\sqrt{33} \approx 5,74):
- s_1 \approx \frac{1 + 5,74}{2} \approx 3,37
- s_2 \approx \frac{1 - 5,74}{2} \approx -2,37
Validação no Lugar das Raízes
Devemos verificar quais desses pontos pertencem efetivamente ao Lugar das Raízes no eixo real.
- Pólos abertos (denominador): s = -1 e s = -5.
- Zeros abertos (numerador): s = 2 e s = 6.
O Lugar das Raízes existe no eixo real onde há um número ímpar de pólos e zeros à direita do ponto.
- O intervalo entre os pólos reais $[-5, -1]$ possui 3 elementos à direita (zero em 2, zero em 6, polo em -1). Logo, o lugar das raízes existe neste intervalo.
- O ponto $s \approx -2,37$ está dentro deste intervalo. Este é o ponto de saída dos polos (breakaway point), onde os ramos deixam o eixo real para se tornarem complexos conjugados.
- O ponto s \approx 3,37 está no intervalo entre os zeros [2, 6], caracterizando um ponto de entrada (break-in point).
Portanto, o ponto de saída dos polos é -2,37.
Conclusão
O cálculo indica que o ponto de separação dos polos no eixo real é aproximadamente -2,37, o que corresponde à alternativa D.