Alternativa B - 1/4
Introdução
Para determinar a energia total de um sinal contínuo no tempo, utilizamos o conceito de norma L^2, que envolve integrar o quadrado da magnitude do sinal ao longo de todo o intervalo de tempo. Neste problema, temos um sinal exponencial amortecido multiplicado por uma função degrau.
Desenvolvimento
A energia E de um sinal x(t) é calculada pela seguinte fórmula:
E = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt
No entanto, precisamos considerar as propriedades do sinal dado:
- O sinal é x(t) = e^{-2t} u(t).
- A função degrau unitário u(t) é igual a 0 para t < 0 e 1 para t \geq 0.
Isso significa que o sinal só existe (é diferente de zero) a partir de t = 0. Portanto, os limites de integração mudam de (-\infty, \infty) para (0, \infty).
Substituindo na fórmula da energia:
E = \int_{0}^{\infty} |e^{-2t}|^2 dt
Como estamos lidando com tempo real, podemos remover o módulo, elevando a base ao quadrado:
E = \int_{0}^{\infty} (e^{-2t})^2 dt = \int_{0}^{\infty} e^{-4t} dt
Análise
Agora realizamos o cálculo da integral definida:
- Encontrar a primitiva: A integral de e^{at} é \frac{1}{a}e^{at}. Aqui, a = -4.
\int e^{-4t} dt = -\frac{1}{4}e^{-4t} - Aplicar os limites de integração (de 0 a \infty):
E = \left[ -\frac{1}{4}e^{-4t} \right]_{0}^{\infty} - Calcular os valores:
- No limite superior (t \to \infty): e^{-\infty} \to 0.
- No limite inferior (t = 0): e^{0} = 1.
E = \left( -\frac{1}{4} \cdot 0 \right) - \left( -\frac{1}{4} \cdot 1 \right)
E = 0 + \frac{1}{4}
E = \frac{1}{4}
Conclusão
O valor calculado para a energia total do sinal é 1/4.
Portanto, a alternativa correta é a B.