Considere o sistema não linear abaixo. 3x₁² + 5x₂ = 13 2x₁ + x₂³ = 6 Qual é a matriz Jacobiana deste sistema?

Question

Considere o sistema não linear abaixo.

3x₁² + 5x₂ = 13
2x₁ + x₂³ = 6

Qual é a matriz Jacobiana deste sistema?

J = |6x₁ 5| |2 3x₂²|
J = |6x₁ 5| |2 3x₂²|
J = |3x₁ 2 3x₂²|
J = |5x₁ 2 3x₂²|

Sapien IA · Accepted Answer

Alternativa B A questão solicita o cálculo da matriz Jacobiana para um sistema de equações não lineares. Vamos resolver passo a passo para entender o conceito e encontrar a resposta correta. Introdução ao Conceito A matriz Jacobiana é uma ferramenta fundamental em cálculo multivariável, frequentemente utilizada em métodos numéricos como o Método de Newton Raphson . Ela contém todas as derivadas parciais de primeira ordem de um vetor de funções. Para um sistema com duas variáveis ($x 1, x 2$) e duas funções ($f, g$), a matriz $J$ é definida assim: $$ J = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x 1} & \frac{\partial f}{\partial x 2} \ \frac{\partial g}{\partial x 1} & \frac{\partial g}{\partial x 2} \end{bmatrix} $$ Desenvolvimento do Problema O sistema apresentado na imagem é composto por duas equações: 1. Função 1 ($f$): $3x 1^2 + 5x 2 = 13$ 2. Função 2 ($g$): $2x 1 + x 2^3 = 6$ Precisamos calcular as derivadas parciais de cada função em relação a cada variável. Passo 1: Derivadas da Função 1 ($f$) Derivada em relação a $x 1$: A derivada de $3x 1^2$ é $2 \cdot 3x 1 = 6x 1$. O termo $5x 2$ é constante em relação a $x 1$. $\frac{\partial f}{\partial x 1} = 6x 1$ Derivada em relação a $x 2$: O termo $3x 1^2$ é constante em relação a $x 2$. A derivada de $5x 2$ é $5$. $\frac{\partial f}{\partial x 2} = 5$ Passo 2: Derivadas da Função 2 ($g$) Derivada em relação a $x 1$: A derivada de $2x 1$ é $2$. O termo $x 2^3$ é constante em relação a $x 1$. $\frac{\partial g}{\partial x 1} = 2$ Derivada em relação a $x 2$: A derivada de $x 2^3$ segue a regra da potência ($n \cdot x^{n 1}$). Logo, $3 \cdot x 2^{3 1} = 3x 2^2$. $\frac{\partial g}{\partial x 2} = 3x 2^2$ Análise das Alternativas Com os valores calculados, montamos a matriz: | Posição | Valor Calculado | | : | : | | Linha 1, Coluna 1 ($\frac{\partial f}{\partial x 1}$) | $6x 1$ | | Linha 1, Coluna 2 ($\frac{\partial f}{\partial x 2}$) | $5$ | | Linha 2, Coluna 1 ($\frac{\partial g}{\partial x 1}$) | $2$ | | Linha 2, Coluna 2 ($\frac{\partial g}{\partial x 2}$) | $3x 2^2$ | A matriz resultante é: $$ J = \begin{bmatrix} 6x 1 & 5 \ 2 & 3x 2^2 \end{bmatrix} $$ Comparando com as opções da imagem: A) Apresenta $3x 2^3$ no canto inferior direito (incorreto). B) Apresenta exatamente a matriz que calculamos: $\begin{bmatrix} 6x 1 & 5 \ 2 & 3x 2^2 \end{bmatrix}$. C) Apresenta $3x 1$ no canto superior esquerdo (esqueceu a regra da potência). D) Apresenta $5x 1$ no canto superior esquerdo (erro de cálculo). Conclusão A alternativa correta é a B , pois ela representa corretamente a matriz formada pelas derivadas parciais das funções do sistema não linear dado.

Posição	Valor Calculado
Linha 1, Coluna 1 ( $\frac{\partial f}{\partial x_1}$ )	$6x_1$
Linha 1, Coluna 2 ( $\frac{\partial f}{\partial x_2}$ )	$5$
Linha 2, Coluna 1 ( $\frac{\partial g}{\partial x_1}$ )	$2$
Linha 2, Coluna 2 ( $\frac{\partial g}{\partial x_2}$ )	$3x_2^2$

Explicação passo a passo

Introdução ao Conceito

Desenvolvimento do Problema

Passo 1: Derivadas da Função 1 ( $f$ )

Passo 2: Derivadas da Função 2 ( $g$ )

Análise das Alternativas

Conclusão

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