Alternativa D
Para encontrar o sinal de saída em regime permanente (y(\infty)) para uma entrada degrau unitário, devemos analisar a função de transferência em malha fechada do sistema e aplicar o Teorema do Valor Final.
Análise Detalhada
1. Identificação dos componentes do sistema:
- Caminho Direto (Malha Aberta): O controlador proporcional K em série com a planta \frac{1}{Ts + 1}.
G_{aberta}(s) = K \cdot \frac{1}{Ts + 1} - Realimentação: O diagrama mostra uma realimentação unitária negativa (retornando diretamente ao somador com sinal negativo implícito na subtração do erro).
H(s) = 1
2. Função de Transferência em Malha Fechada (G_{fechada}):
A relação entre a saída Y(s) e a entrada X(s) é dada por:
G_{fechada}(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{G_{aberta}(s)}{1 + G_{aberta}(s)H(s)}
Substituindo as funções encontradas:
G_{fechada}(s) = \frac{\frac{K}{Ts + 1}}{1 + \frac{K}{Ts + 1}}
Multiplicando o numerador e o denominador por (Ts + 1) para simplificar:
G_{fechada}(s) = \frac{K}{(Ts + 1) + K} = \frac{K}{Ts + (1 + K)}
3. Cálculo do Regime Permanente:
A entrada é um degrau unitário, cuja transformada de Laplace é X(s) = \frac{1}{s}.
A saída no domínio da frequência é Y(s) = G_{fechada}(s) \cdot X(s).
Para encontrar o valor final no tempo (t \to \infty), utilizamos o Teorema do Valor Final:
y(\infty) = \lim_{s \to 0} [s \cdot Y(s)]
Substituindo Y(s):
y(\infty) = \lim_{s \to 0} \left[ s \cdot \frac{K}{Ts + (1 + K)} \cdot \frac{1}{s} \right]
O termo s se cancela:
y(\infty) = \lim_{s \to 0} \frac{K}{Ts + (1 + K)}
Fazendo s \to 0:
y(\infty) = \frac{K}{T(0) + 1 + K} = \frac{K}{1 + K}
Portanto, o sinal de saída em regime permanente é igual a \frac{K}{K + 1}.
Conclusão
A alternativa correta é a D.