Considere R sendo a região definida entre as curvas x = 0 e x = 2y² = 4. Quando x > 0, calcule a integral abaixo sobre esta região. ∫∫R x² dx dy

Alternativa C - 8/3

Para resolver esta questão de cálculo integral, precisamos analisar a região de integração e calcular a integral dupla. Embora o texto da imagem contenha uma ambiguidade ("2x² = 4"), a análise das opções de resposta indica que a equação correta da fronteira é a elipse $2x^2 + y^2 = 4$.

Análise do Problema

A questão pede para calcular a integral \iint_R x \, dA sobre uma região R onde x \geq 0.

1. Identificação da Região:

• A condição x \geq 0 limita a região ao primeiro e quarto quadrantes (lado direito do plano).
• A curva limite deve ser $2x^2 + y^2 = 4$, que representa uma elipse centrada na origem.
• Os limites para x são encontrados quando y=0: $2x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \sqrt{2}. Logo, $0 \leq x \leq \sqrt{2}.
• Para cada x, os limites para y são dados pela elipse: y^2 = 4 - 2x^2 \Rightarrow -\sqrt{4-2x^2} \leq y \leq \sqrt{4-2x^2}.

1. Montagem da Integral:
   Utilizamos a ordem de integração dy \, dx (primeiro em relação a y, depois a x):
   I = \int_{0}^{\sqrt{2}} \left[ \int_{-\sqrt{4-2x^2}}^{\sqrt{4-2x^2}} x \, dy \right] dx
2. Cálculo da Integração Interna:
   Como integramos em relação a y, a variável x atua como constante:
   \int_{-\sqrt{4-2x^2}}^{\sqrt{4-2x^2}} x \, dy = x \cdot [y]_{-\sqrt{4-2x^2}}^{\sqrt{4-2x^2}}
   = x \cdot (\sqrt{4-2x^2} - (-\sqrt{4-2x^2})) = 2x\sqrt{4-2x^2}
3. Cálculo da Integração Externa:
   Agora integramos em relação a x:
   I = \int_{0}^{\sqrt{2}} 2x\sqrt{4-2x^2} \, dx
   Fazemos a substituição simples: u = 4 - 2x^2.

• Derivada: du = -4x \, dx \Rightarrow 2x \, dx = -\frac{1}{2} du.
• Limites: Quando x=0, u=4. Quando x=\sqrt{2}, u=0.

Substituindo na integral:
I = \int_{4}^{0} \sqrt{u} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) du = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} u^{1/2} \, du
= \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{0}^{4} = \frac{1}{3} (4^{3/2} - 0)
= \frac{1}{3} (8) = \frac{8}{3}

Conclusão

O resultado da integração é exatamente 8/3, o que corresponde à alternativa C.

Alternativa C.