Considere um número real. Calcule a derivada da seguinte função em x = 0: f(x) = { bx + x²cos(1/x), x ≠ 0 { 0, x = 0

Alternativa A

Para calcular a derivada de uma função definida por partes em um ponto específico (neste caso, x = 0), devemos utilizar a definição de derivada através do limite. Não podemos simplesmente aplicar as regras de derivação padrão, pois a função muda de comportamento exatamente naquele ponto.

A fórmula fundamental para a derivada em x = 0 é:

Desenvolvimento da Resolução

Substituindo os valores dados na função:

• Para x \neq 0, temos f(x) = bx + x^2 \cos(\frac{1}{x}).
• Para x = 0, temos f(0) = 0.

Assim, montamos o limite da seguinte forma:

Simplificamos a fração dividindo cada termo do numerador pelo denominador x:

Agora, avaliamos o limite de cada parte separadamente:

• O termo constante b permanece b.
• Para o termo x \cos(\frac{1}{x}), utilizamos o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche). Sabemos que a função cosseno está sempre entre -1 e 1, ou seja, -1 \leq \cos(\frac{1}{x}) \leq 1.
• Multiplicando por x (considerando o comportamento próximo a zero), temos que x \cdot (-1) \leq x \cos(\frac{1}{x}) \leq x \cdot 1.
• Como \lim_{x \to 0} x = 0 e \lim_{x \to 0} -x = 0, conclui-se que:

Portanto, o resultado final do limite é:

Conclusão

A derivada da função no ponto x = 0 é igual ao coeficiente linear da parte não nula da função.

Alternativa A.