Considere um recipiente, inicialmente, 10.000 L de água e 200 kg de sal. É inserida no recipiente uma solução (água salgada), com uma concentração de 0,5 kg de sal por litro de água, a uma taxa fixa de 50 L/min. Essa solução é misturada completamente e tem uma saída do tanque com uma taxa de 50 L/min. Dadas essas informações, determine a quantidade máxima de sal que permanece no recipiente.

Resumo da Resposta

A quantidade máxima de sal que permanecerá no recipiente é de 5.000 kg. Esse valor é atingido quando o sistema alcança o equilíbrio dinâmico, onde a quantidade de sal entrando no tanque passa a ser igual à quantidade saindo.

Análise Matemática

Este problema descreve um processo de mistura controlado por equações diferenciais. Para encontrar o máximo, precisamos analisar o estado estacionário (quando a quantidade de sal deixa de variar com o tempo).

1. Definição das Variáveis

• Volume do líquido (V): 10.000 Litros. Como a vazão de entrada é igual à de saída (50 L/min), o volume permanece constante.
• Taxa de entrada de sal: A solução entra com 0,5 kg de sal por litro, a 50 L/min.
  \text{Entrada} = 0,5 \, \text{kg/L} \times 50 \, \text{L/min} = 25 \, \text{kg/min}
• Taxa de saída de sal: A solução sai uniformemente misturada. A concentração dentro do tanque depende da quantidade de sal atual (Q) dividida pelo volume total (V).
  \text{Saída} = \frac{Q}{10.000} \, \text{kg/L} \times 50 \, \text{L/min} = \frac{Q}{200} \, \text{kg/min}

2. Condição de Máximo (Equilíbrio)

O sal acumula-se até que a taxa de entrada iguale a taxa de saída. Nesse ponto, a quantidade de sal não cresce mais (\frac{dQ}{dt} = 0).

Substituindo os valores calculados:

3. Cálculo Final

Isolando Q_{\text{máx}}:

Portanto, independentemente da quantidade inicial (200 kg), o tanque tenderá assintoticamente a conter 5.000 kg de sal.