Considere um sistema de controle de posição aplicado a um atuador eletromecânico utilizado em processos industriais de alta precisão. Nesses sistemas, é fundamental garantir elevada exatidão, rapidez e estabilidade, mesmo na presença de perturbações externas e incertezas nos parâmetros do modelo. Devido às características físicas do sistema, como inércia e atrito, o comportamento dinâmico da planta pode ser modelado por G(s) = 1 / s(s + 2). Deseja-se projetar um controlador proporcional de ganho K, de modo que o sistema em malha fechada apresente desempenho adequado em regime transitório. Entretanto o sistema é sensível a sobressinais elevados. Assim, impõe-se que o sobressinal máximo da resposta ao degrau unitário seja limitado a 10%. Determine o valor do ganho K do controlador proporcional para que o sobressinal máximo da resposta ao degrau unitário seja de, no máximo, 10%. Além disso, determine a função de transferência em malha fechada e identifique os polos do sistema.

Resolução do Problema de Controle

Esta questão aborda o projeto de um controlador proporcional para atender a especificações de desempenho em regime transiente (sobressinal).

Resumo da Solução

Para limitar o sobressinal máximo a 10%, o ganho do controlador deve ser ajustado para K \approx 2,86$**. A função de transferência resultante em malha fechada é $T(s) = \frac{2,86}{s^2 + 2s + 2,86} e seus polos complexos conjugados são localizados em $-1 \pm j1,36$**.

Desenvolvimento Didático

1. Função de Transferência em Malha Fechada

Primeiro, determinamos a relação entre a saída Y(s) e a entrada X(s) considerando o bloco do controlador K e a planta G(s). Como é uma realimentação unitária negativa:

Multiplicando numerador e denominador por s(s+2), obtemos a forma polinomial:

2. Identificação dos Parâmetros do Sistema

Comparando o denominador obtido com a forma padrão de segunda ordem (s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2):

• \omega_n^2 = K \quad \Rightarrow \quad \omega_n = \sqrt{K}
• $2\zeta\omega_n = 2 \quad \Rightarrow \quad \zeta\omega_n = 1$

Da segunda equação, isolamos o fator de amortecimento \zeta:

3. Cálculo do Ganho K via Sobressinal

O sobressinal máximo (M_p) é dado pela fórmula:

O enunciado impõe M_p \leq 0,10 (10%). Igualando a 0,10 para encontrar o limite mínimo de amortecimento:

Elevando ambos os lados ao quadrado e resolvendo para \zeta:

Agora, substituímos \zeta na relação encontrada no passo 2 para achar K:

4. Localização dos Polos

Os polos do sistema em malha fechada são as raízes do denominador s^2 + 2s + K = 0. Utilizando a fórmula quadrática ou a forma canônica (-\zeta\omega_n \pm j\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}):

• Parte Real: -\zeta\omega_n = -1 (já sabíamos disso pelo termo linear da equação).
• Parte Imaginária: \omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}.
• Como \omega_n = \sqrt{K} \approx \sqrt{2,86} \approx 1,69.
• \omega_d = 1,69 \cdot \sqrt{1 - 0,349} \approx 1,69 \cdot 0,807 \approx 1,36.

Assim, os polos são:

Conclusão

O projeto do controlador requer um ganho **K = 2,86$**. Isso garante que o sistema tenha amortecimento suficiente ($\zeta \approx 0,59) para manter o pico da resposta dentro de 10%, evitando oscilações excessivas que poderiam danificar o equipamento mecânico.