Esta questão aborda o projeto de controladores usando o método de Ziegler-Nichols (método de oscilação limitada). O objetivo é determinar os parâmetros de um controlador Proporcional-Integral (PI) baseado nas características de oscilação crítica de um sistema.
Resolução Passo a Passo
a) Determinar o período de oscilação do sistema
O período de oscilação (T) é o inverso da frequência (f). O enunciado fornece explicitamente a frequência de oscilação do sistema quando ele atinge a estabilidade marginal (polos no eixo imaginário).
Dados fornecidos:
Fórmula:
T = \frac{1}{f}
Cálculo:
T = \frac{1}{0,32} = 3,125 \text{ segundos}
Nota: Os polos indicam \omega = 2 rad/s, o que resultaria em T = \pi \approx 3,14 s. Como o enunciado forneceu 0,32 Hz explicitamente, utilizaremos este valor para maior precisão com os dados apresentados.
b) Obter os parâmetros do controlador PI
Para encontrar os parâmetros, consultamos a Tabela 1 fornecida na questão na linha correspondente ao tipo PI. As variáveis K e T referem-se ao Ganho Crítico e ao Período Crítico, respectivamente.
Dados:
- Ganho Crítico (K) = 20
- Período Crítico (T) = 3,125 s
Parâmetros da tabela para PI:
- K_P = 0,45 K
- \tau_i = 0,83 T
Cálculos:
- Ganho Proporcional (K_P):
K_P = 0,45 \times 20 = 9 - Tempo Integral (\tau_i):
\tau_i = 0,83 \times 3,125 \approx 2,59 \text{ s}
c) Reescreva o controlador na forma G_c(s) = K_P + \frac{K_I}{s}
A função de transferência de um controlador PI no domínio da frequência (Laplace) é geralmente escrita como:
G_c(s) = K_P \left( 1 + \frac{1}{\tau_i s} \right) = K_P + \frac{K_P}{\tau_i s}
Comparando com a forma solicitada G_c(s) = K_P + \frac{K_I}{s}, identificamos que o ganho integral K_I é dado por:
K_I = \frac{K_P}{\tau_i}
Substituindo os valores encontrados no item (b):
K_I = \frac{9}{2,59375} \approx 3,47
Portanto, a expressão final do controlador é:
G_c(s) = 9 + \frac{3,47}{s}
d) Interprete fisicamente o efeito da ação integral sobre o erro em regime permanente
A ação integral tem como principal função física eliminar o erro em regime permanente (também chamado de erro estacionário).
- Como funciona: O termo integral soma (integra) o erro ao longo do tempo.
- Consequência: Mesmo que o erro seja muito pequeno, se ele persistir por um longo tempo, a ação integral aumenta progressivamente a saída do controlador.
- Resultado: Essa ação continua crescendo até que o erro seja reduzido a zero, garantindo que a saída do sistema acompanhe perfeitamente o valor desejado (setpoint) em estado estacionário.
Análise Final
| Item | Resultado Calculado | Observação |
|---|
| Período (T) | 3,125 s | Inverso da frequência dada (0,32 Hz) |
| Ganho P (K_P) | 9 | $0,45 \times 20$ |
| Tempo I (\tau_i) | 2,59 s | $0,83 \times 3,125$ |
| Ganho I (K_I) | 3,47 | K_P / \tau_i |
Resumo: O problema foi resolvido aplicando diretamente as regras de Ziegler-Nichols para o método de oscilação limitada. A chave está em identificar corretamente o Ganho Crítico (K) e o Período Crítico (T) a partir das especificações dinâmicas do sistema (polos e frequência).