Resumo da Resposta
A quantidade de substância no recipiente no momento em que o líquido começa a transbordar é aproximadamente 55,54 kg.
O problema envolve modelagem de misturas utilizando equações diferenciais lineares de primeira ordem, onde se determina o tempo de enchimento e a evolução da concentração ao longo desse intervalo.
Análise Detalhada
Para resolver este problema, precisamos acompanhar duas variáveis principais ao longo do tempo t: o volume do líquido e a massa da substância dissolvida.
1. Determinação do Tempo de Transbordamento
Primeiro, calculamos quanto tempo leva para o tanque encher até sua capacidade máxima.
- Volume Inicial (V_0): 180 L
- Volume Máximo (V_{max}): 280 L
- Taxa Líquida de Entrada: $12 \, \text{L/min} - 8 \, \text{L/min} = 4 \, \text{L/min}$
A função do volume V(t) é dada por:
V(t) = V_0 + (\text{taxa líquida}) \times t
V(t) = 180 + 4t
Para encontrar o tempo T em que ocorre o transbordamento, igualamos a 280 L:
180 + 4T = 280 \Rightarrow 4T = 100 \Rightarrow T = 25 \, \text{minutos}
2. Modelagem da Quantidade de Substância
Seja y(t) a quantidade de substância (em kg) no instante t. A taxa de variação da massa é a diferença entre a entrada e a saída:
- Entrada: $12 \, \text{L/min} \times 0,25 \, \text{kg/L} = 3 \, \text{kg/min}$
- Saída: Concentração atual \times vazão de saída
\text{Concentração} = \frac{y(t)}{V(t)} = \frac{y(t)}{180 + 4t}
\text{Saída} = \frac{y(t)}{180 + 4t} \times 8 = \frac{8y(t)}{180 + 4t}
A equação diferencial que descreve o sistema é:
\frac{dy}{dt} = 3 - \frac{8y}{180 + 4t}
Reorganizando na forma padrão de uma equação linear (y' + P(t)y = Q(t)):
\frac{dy}{dt} + \frac{8}{180 + 4t}y = 3
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 4:
\frac{dy}{dt} + \frac{2}{45 + t}y = 3
3. Resolução da Equação Diferencial
Utilizamos o fator integrante I(t) = e^{\int \frac{2}{45+t} dt} = e^{2\ln(45+t)} = (45+t)^2.
Multiplicando a equação pelo fator integrante:
\frac{d}{dt} \left[ y(t)(45+t)^2 \right] = 3(45+t)^2
Integrando ambos os lados:
y(t)(45+t)^2 = \int 3(45+t)^2 \, dt = (45+t)^3 + C
y(t) = (45+t) + \frac{C}{(45+t)^2}
Aplicamos a condição inicial y(0) = 10 para achar C:
10 = (45+0) + \frac{C}{(45)^2} \Rightarrow 10 = 45 + \frac{C}{2025}
C = -35 \times 2025 = -70.875
4. Cálculo Final
Substituímos t = 25 minutos na solução encontrada:
y(25) = (45+25) + \frac{-35 \times 45^2}{(45+25)^2}
y(25) = 70 - 35 \left( \frac{45}{70} \right)^2 = 70 - 35 \left( \frac{9}{14} \right)^2
y(25) = 70 - \frac{35 \times 81}{196} = 70 - \frac{405}{28}
y(25) \approx 70 - 14,46 = 55,54 \, \text{kg}
Conclusão
Ao calcular a integração da equação diferencial com as condições dadas, obtém-se que a massa da substância no instante crítico é de aproximadamente 55,54 kg.