Alternativa C - O termo independente deve ser nulo e a incógnita e suas derivadas devem aparecer apenas na primeira potência.
Introdução
Para classificar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO), precisamos analisar duas propriedades principais: linearidade e homogeneidade. Vamos revisar os conceitos fundamentais para entender por que a alternativa C é a correta.
Desenvolvimento
1. O que torna uma equação LINEAR?
Uma EDO é considerada linear quando a incógnita (geralmente denotada por y) e todas as suas derivadas (y', y'', \dots) aparecem apenas na primeira potência e não são multiplicadas entre si.
A forma geral de uma EDO linear de segunda ordem é:
a_2(x)y'' + a_1(x)y' + a_0(x)y = f(x)
Onde:
- y'', y' e y estão elevados à potência 1.
- Os coeficientes a_2(x), a_1(x) e a_0(x) podem ser funções da variável independente (x).
- Não existem termos como (y')^2, \sin(y) ou y \cdot y'.
2. O que torna uma equação HOMOGENÊA?
Uma equação linear é dita homogênea quando todos os termos da equação envolvem a incógnita ou suas derivadas. Isso significa que não existe um termo "solitário" que não contenha y.
Matematicamente, isso ocorre quando o termo independente f(x) é igual a zero:
a_2(x)y'' + a_1(x)y' + a_0(x)y = 0
## Análise das Alternativas
Vamos examinar cada opção com base nessas definições:
- (A) Incorreta. Para ser homogênea, o termo independente deve ser nulo (igual a zero), não pode depender da variável independente. Além disso, os coeficientes não precisam ser constantes (podem ser variáveis).
- (B) Incorreta. Termos como (x')^2 (derivada elevada ao quadrado) tornariam a equação não-linear. A linearidade exige potência 1.
- (C) Correta.
- "Termo independente nulo": Garante a homogeneidade (= 0).
- "Primeira potência": Garante a linearidade.
- (D) Incorreta. Uma equação de segunda ordem pode conter derivadas de ordens inferiores (como y' e y) sem perder sua classificação.
- (E) Incorreta. A variável independente (x) pode aparecer nos coeficientes da equação (ex: xy'' + y = 0). Isso caracteriza uma equação linear de coeficientes variáveis, que ainda é válida.
Conclusão
A definição precisa de uma equação diferencial linear e homogênea exige que a função incógnita e suas derivadas tenham grau 1 (linearidade) e que não haja termos livres fora dessas derivadas (homogeneidade). Portanto, a afirmação correta é a Alternativa C.