Considere uma mola com uma massa de 3 kg e comprimento natural de 0,5 m. Para esticá-la até um comprimento de 0,8 m, é necessária uma força de 22,5 N. Suponha que a mola seja esticada até o comprimento de 0,8 m e, em seguida, seja liberada com velocidade inicial nula. O movimento realizado adece à equação diferencial: mx'' + kx = 0, onde x é uma função do tempo t que indica a posição da massa m e k é a constante elástica. Com base na situação descrita, assinale a alternativa correta.

Alternativa A

O problema envolve o estudo do Movimento Harmônico Simples descrito por uma Equação Diferencial Ordinária (EDO). Para encontrar a resposta correta, precisamos determinar a constante elástica da mola, montar o Problema de Valor Inicial (PVI) e verificar a solução.

1. Determinação da Constante Elástica (k)

Primeiro, utilizamos a Lei de Hooke fornecida no enunciado (F = kx) para encontrar o valor de k. Note que x representa a deformação da mola, não o comprimento total.

• Comprimento natural: $0,5\text{ m}$
• Comprimento esticado: $0,8\text{ m}$
• Deformação (x): $0,8 - 0,5 = 0,3\text{ m}$
• Força aplicada (F): $22,5\text{ N}$

Calculando k:
22,5 = k \cdot 0,3 \Rightarrow k = \frac{22,5}{0,3} = 75\text{ N/m}

2. Montagem do Problema de Valor Inicial (PVI)

Substituímos os valores de massa (m=3) e constante elástica (k=75) na equação diferencial dada (mx'' + kx = 0):

Podemos simplificar dividindo toda a equação por 3:
x'' + 25x = 0

Agora definimos as condições iniciais:

1. Posição inicial (x(0)): A mola é solta a partir do ponto de esticamento máximo. O deslocamento em relação à posição de equilíbrio é $0,3\text{ m}. Logo, $x(0) = 0,3.
2. Velocidade inicial (x'(0)): O enunciado diz "liberada com velocidade inicial nula". Logo, x'(0) = 0.

Portanto, o PVI correto é:
3x'' + 75x = 0, \quad x(0) = 0,3, \quad x'(0) = 0

3. Análise da Solução Proposta (Alternativa A)

Vamos verificar se a função x(t) = 0,3 \cos(5t) satisfaz a equação e as condições iniciais.

• Condição Inicial de Posição:
  x(0) = 0,3 \cos(5 \cdot 0) = 0,3 \cdot 1 = 0,3 (Correto)
• Condição Inicial de Velocidade:
  Derivando x(t) para obter a velocidade:
  x'(t) = \frac{d}{dt}[0,3 \cos(5t)] = 0,3 \cdot (-5 \sin(5t)) = -1,5 \sin(5t)
  Avaliando em t=0:
  x'(0) = -1,5 \sin(0) = 0 (Correto)
• Verificação na Equação Diferencial:
  Derivando novamente para obter a aceleração:
  x''(t) = -1,5 \cdot 5 \cos(5t) = -7,5 \cos(5t)
  Substituindo em $3x'' + 75x = 0$:
  3(-7,5 \cos(5t)) + 75(0,3 \cos(5t)) = -22,5 \cos(5t) + 22,5 \cos(5t) = 0 (Satisfaz)

4. Por que as outras alternativas estão incorretas?

• Alternativa B: Sugere uma solução exponencial (e^{5x}), o que indicaria raízes reais. Como a equação é x'' + 25x = 0, as raízes da equação característica (r^2 + 25 = 0) são imaginárias (r = \pm 5i), resultando em funções trigonométricas (seno/cosseno).
• Alternativa C: Apresenta a equação correta, mas define erroneamente x(0) = 0. O deslocamento inicial não é zero, pois a mola foi puxada.
• Alternativa D: Afirma que há raízes reais e distintas. Como visto acima, as raízes são complexas (\pm 5i).
• Alternativa E: Troca as condições iniciais (x(0)=0 e x'(0)=0,3), contradizendo o enunciado.

Alternativa A.